Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó, \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;3; - 1} \right)\].

Vậy phương trình đường thẳng d qua A và vuông với mặt phẳng (P) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3t\\z = 1 - t.\end{array} \right.\]

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

Đáp án A:

Phương trình x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = \[ - \frac{1}{2}\] ; b = 1; c = −2; d = −3.

Ta có: a² + b² + c² − d = \[\frac{1}{4}\] + 1 + 4 – 3 > 0 do đó đây là phương trình mặt cầu.

Đáp án B:

Phương trình 2x² + 2y² + 2z² – x – y – z = 0 hay x² + y² + x² \[ - \frac{1}{2}\]x \[ - \frac{1}{2}\]y \[ - \frac{1}{2}\]z = 0.

Ta có: a = \[\frac{1}{4}\], b = \[\frac{1}{4}\], c = \[\frac{1}{4}\], d = 0 nên a² + b² + c² – d > 0. Do đó, đây là phương trình mặt cầu.

Đáp án C:

Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1, b = −2, c = 2 và d = 10.

Ta có: a² + b² + c² − d = 1 + 4 + 4 – 10 < 0 nên đây không là phương trình mặt cầu.

Đáp án D:

Ta có: 2x² + 2y² + 2z² + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 hay x² + y² + z² + 2x + 4y + 3z + \[\frac{3}{2}\] = 0.

Ta có: a² + b² + c² – d > 0 nên đây là phương trình mặt cầu.

Vậy chọn C.

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z + m = 0 với a = −1, b = 2, c = −2

và d = m.

Để là phương trình mặt cầu thì a² + b² + c² – d > 0 hay (−1)² + 2² + (−2)² – m > 0.

Suy ra 9 – m > 0 hay m < 9.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

(S₁): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + z² = 7.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 0² = 5 ≠ 7.

Vậy (S₁) không đi qua gốc tọa độ.

(S₂): x² + y² + z² – 4y + 6z – 2 = 0 hay x² + (y – 2)² + (z + 3)² = 15.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 0² + (−2)² + 3² = 13 ≠ 15.

Vậy (S₂) không đi qua gốc tọa độ.

(S₃): x² + y² + z² + 2x + 6z = 0 hay (x + 1)² + y² + (z + 3)² = 10.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + 0² + 3² = 10.

Vậy (S₃) đi qua gốc tọa độ.

(S₄): x² + y² + z² + 2x – 4y + 6z – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 16.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 3² = 14 ≠ 16.

Vậy (S₄) không đi qua gốc tọa độ.

Đáp án đúng là: C

Thay các điểm vào phương trình mặt cầu, ta được:

Có: (−1 – 1)² + (2 – 2)² + (5 – 3)² = 8 < 9 do đó điểm M nằm trong (S).

Có: (0 – 1)² + (3 – 2)² + (2 – 3)² = 3 < 9 do đó điểm N nằm trong (S).

Có: (−1 – 1)² + (6 – 2)² + (−1 – 3)² = 36 > 9 do đó điểm P nằm ngoài (S).

Có: (2 – 1)² + (4 – 2)² + (5 – 3)² = 9 do đó điểm Q thuộc mặt cầu (S).

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)\].

Vậy \[\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\].

Ta có: α = sin(d, (P)) = \[\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\]

             \[ = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = 1\].

⇒ α = 0°.

Thay A(0; 5; 3) vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: 2.0 – 5 – 2.3 + 11 = 0.

Do đó, điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: d(M, (P)) = \[ = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 2.0 + 11} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5\].

Ta có: \[{\overrightarrow u _{MA}} = \left( { - 2;5;3} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Suy ra sin(MA, (P)) = \[\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{MA}},\overrightarrow n } \right)} \right|\]

                                \[ = \frac{{\left| { - 2.2 + 5.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{5\sqrt {38} }}{{38}}\].

Do đó đường thẳng MA không vuông góc với (P).

Đường thẳng d: \[\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z - 31}}{2}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\] và đi qua điểm I(7; 9; 31).

Xét \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow u = 2.1 - 1.\left( { - 2} \right) - 2.2 = 0\\2.7 - 9 - 2.31 + 11 = - 46 \ne 0 \Rightarrow M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\] ⇒ d song song với (P).

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\].

Thay điểm A(2; 1; −2) vào d ta được: \[\frac{2}{1} = \frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} = 2\]. Do đó điểm A thuộc đường thẳng d.

Thay điểm B(−2; −2; −9) vào d ta được: \[\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 1}}\]. Do đó điểm B không thuộc đường thẳng d.

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 3; - 7} \right)\] là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Có: \[{\overrightarrow u _d}.\overrightarrow {AB} = - 4.1 + 1.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right) = 0\] nên đường thẳng AB vuông góc với d.

Thay tọa độ điểm M(−2; 0; −1) vào d ta được: \[\frac{{ - 2 + 2}}{2} = \frac{0}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\].

Do đó, M(−2; 0; −1) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\]. Vectơ \[\overrightarrow a = - 2\overrightarrow u = \left( { - 4;2; - 4} \right)\] cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm N(2; 0; 1) vào đường thẳng d': \[\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\], ta được:

\[\frac{{2 - 2}}{3} = \frac{0}{{ - 4}} = \frac{{1 - 1}}{{ - 5}} = 0\]. Do đó điểm N(2; 0; 1) thuộc đường thẳng d'.

Ta có: \[\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {3; - 4; - 5} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d'.

Có \[\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 2.3 + \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) + 2.\left( { - 5} \right) = 0\] do đó d vuông góc với d'.

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; −2) và bán kính R = 3.

Thay điểm O(0; 0; 0) vào phương trình mặt cầu (S): (−1)² + (−3)² + 2² = 14 > 9.

Vậy điểm O(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).

Thay tọa độ điểm M(1; 3; 1) vào phương trình mặt cầu (S):

(1 – 1)² + (3 – 3)² + (1 + 2)² = 9.

Do đó, điểm M(1; 3; 1) nằm trên mặt cầu (S).

Ta có: \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 4;m - 1} \right)\].

Để (P) ⊥ (Q) ⇔ 1.1 + 2.(−4) + (−1).(m – 1) = 0 ⇔ m = −6.

Ta có: \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;n} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;m;2} \right)\].

Để (α) song song với (β) thì \[\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{m} = \frac{n}{2} \ne \frac{{ - 3}}{6}\] ⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 1\end{array} \right.\].

Đặt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Ta có: G(1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC.

Có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1\\\frac{{0 + b + 0}}{3} = 2\\\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\] ⇒ A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9).

Vậy phương trình (P) là: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\] hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.

Mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy nên có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1; - 4} \right),\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\]. Do đó, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 4}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 1}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\0&1\end{array}} \right|} \right)\] = (4; 0; −1) là vectơ pháp tuyến của (Q).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x – z + 1 = 0.

Ta có phương trình của mặt phẳng (P) chứa khay đặt vật in là z – 5 = 0, suy ra:

D(M, (P)) = \[\frac{{\left| {35 - 5} \right|}}{1}\] = 30 (cm).

Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 4;6} \right)\], \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1; - 5} \right)\].

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; −1; 2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁, d₂ nên có vectơ chỉ phương là

\[{\overrightarrow u _\Delta } = \left[ {{{\overrightarrow u }_1},{{\overrightarrow u }_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&6\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&1\\{ - 5}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 4}\\2&1\end{array}} \right|} \right)\] = (14; 17; 9).

Ta có phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: \[\frac{{x - 1}}{{14}} = \frac{{y + 1}}{{17}} = \frac{{z - 2}}{9}\].

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1;2;0} \right)\]; mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\].

Đường thẳng ∆ đi qua M song song với (P) và vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 2}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\] = (−4; 2; −3).

Ta có phương trình chính tắc của ∆ là: \[\frac{{x - 1}}{{ - 4}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\].

Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1).

Thay tọa độ bốn đỉnh của tứ diện vào (1), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.2 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.4 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {4^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.4 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}4 - 4a + d = 0\\16 - 8b + d = 0\\16 - 8c + d = 0\\d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\].

Vậy phương trình của (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 4z = 0.

Ta có tâm I của mặt cầu (S) là: I(1; 3; −7).

Tọa độ các điểm M, N là chân đường vuông góc vẽ từ I đến các trục Oy và Oz lần lượt là M(0; 3; 0), N(0; 0; −7).

a) Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = \[\sqrt 2 \].

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

Ta có: d(I, (Oxy)) = \[\left| { - 2} \right|\] = 2.

b) Ta có: J(−1; 0; 2) là điểm đối xứng của I qua gốc tọa độ O.

Phương trình mặt cầu (S') tâm J, bán kính R = \[\sqrt 2 \] là:

(S'): (x + 1)² + y² + (z – 2)² = 2.

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là \[{\overrightarrow a _d} = \left( {1;0;0} \right)\].

Suy ra d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\].

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = \[\sqrt {{R^2} - I{A^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = \[2\sqrt 2 \].

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d' là \[{\overrightarrow u _{d'}}\]= (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t.\end{array} \right.\]

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = \[\sqrt {{R^2} - I{B^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = \[2\sqrt 2 \].