20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương V (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?
\(2x + 5y - 8z = 0\).
\(y + 2025 = 0\).
\(x + 20 = 0\).
\(x - 2024 = 0\).
Đáp án đúng: A
Thay tọa độ điểm O vào mặt phẳng \(2x + 5y - 8z = 0\) ta thấy thỏa mãn.
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{4}\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
\({\vec u_2} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
\({\vec u_1} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( {3;2;4} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( {3; - 2;4} \right)\).
Đáp án đúng: D
\({\vec u_3} = \left( {3; - 2;4} \right)\)là một vectơ chỉ phương của △.
Trong không gian \[Oxyz\], cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0\] bằng
\[ - \frac{{\sqrt 3 }}{9}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{9}\].
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\) bán kính \(R = 3\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
Đáp án đúng: A
Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\) bán kính \(R = 3\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 3z + 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)là:
\({\vec n_4} = \left( { - 2;3; - 1} \right)\).
\({\vec n_3} = \left( { - 2;0; - 3} \right)\).
\[{\vec n_1} = \left( {2;0; - 3} \right)\].
\({\vec n_2} = \left( {2; - 3;1} \right)\).
Đáp án đúng: C
\[{\vec n_1} = \left( {2;0; - 3} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;3;2} \right)\) là:
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\).
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua A(1; 1; −1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 3 = 0\) có bán kính là:
\(\sqrt 3 \).
\(3\).
\(9\).
\(\sqrt {21} \).
Đáp án đúng: A
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\) .
Bán kính của mặt cầu (S) là \(R = \sqrt 3 \) .
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ \(A(1;2;0)\) đến mặt phẳng \((P):2x - y + z + 1 = 0\)bằng:
\(\frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{5}{{\sqrt 6 }}\).
\(0\).
Đáp án đúng: A
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y + 2z - 1 = 0\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( S \right):x - 2y + 2z + 1 = 0\).
\(\left( P \right):2x + 6y + 4z - 2 = 0\).
\(\left( R \right):x + y - 2z - 1 = 0\).
\(\left( Q \right):3x + 9y + 6z - 1 = 0\).
Đáp án đúng: C
Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (R) nhận \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_R}} = 1.1 + 3.1 + 2.\left( { - 2} \right) = 0\). Do đó \(\left( \alpha \right) \bot \left( R \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\,(1;\,0;\,2)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)\)là:
\(2x - y + 3z + 4 = 0.\)
\(x + 2z - 8 = 0.\)
\(2x - y + 3z - 4 = 0.\)
\(2x - y + 3z - 8 = 0.\)
Đáp án đúng: D
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\,(1;\,0;\,2)\) và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)\) là \(2\left( {x - 1} \right) - y + 3\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 8 = 0\) .
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 4), đường thẳng \(d:\frac{{x - 10}}{7} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 15}}{8}\) và mặt phẳng (P): \(2x - y + 3z - 1 = 0\).
(a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).
(b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 68° (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
(c) Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(\left( Q \right):7x + y + 8z - 40 = 0\).
(d) Phương trình mặt cầu tâm M và có bán kính bằng khoảng cách từ M đến (P) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).
a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}\) \( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ \).
c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0\).
d) Ta có \(R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\).
Phương trình mặt cầu cần lập là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(2;1;0)\) mặt phẳng \((P): - x + 2y - 4z + 4 = 0\) và mặt phẳng \((Q): - x + 2y - 4z + 10 = 0\).
(a) \((P)\) vuông góc với \((Q)\).
(b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(O\), \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng \(ax + by + 5z + d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).
(c) Khoảng cách giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Q)\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {21} }}\).
(d) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt {21} }}\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(4 \ne 10\) nên (P) // (Q).
b) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 4x + 8y + 5z = 0\).
Suy ra \(a = - 4;b = 8;d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).
c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).
Ta có \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}\).
d) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt ở vị trí \(I\left( {1;3;7} \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(3{\rm{km}}\).
(a) Phương trình mặt cầu \((S)\) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \({(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 7)^2} = 9\).
(b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \(B\left( {5;6;7} \right)\) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
(c) Điểm \(A\left( {2;2;7} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).
(d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ \(A\left( {2;2;7} \right)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
a)Phương trình mặt cầu \((S)\) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\).
b) Ta có \(IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\).
Do đó người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \(B\left( {5;6;7} \right)\) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
c) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3\).
Suy ra A nằm trong mặt cầu (S).
d) Người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ \(A\left( {2;2;7} \right)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình lập phương \(ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \) có \(A(0;\;0;\;0),\;\;B(2;\;0;\;0),\) \(D(0;\;2;\;0),\;\;A\prime (0;\;0;\;2).\) Gọi \(M,\;\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA\prime \).
(a) Toạ độ của điểm \(M\)là \((1;\;0;\;0).\)
(b) Tọa độ của điểm \(N\)là \((0;\;1;\;0).\)
(c) Phương trình mặt phẳng \((DMN)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\)
(d) Khoảng cách từ điểm \(C\prime \) đến mặt phẳng \((DMN)\) bằng \(\frac{8}{3}.\)
a) \(M\left( {1;0;0} \right)\).
b) \(N\left( {0;0;1} \right)\).
c) Mặt phẳng (DMN) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 2 = 0\).
d) Ta có \(C'\left( {2;2;2} \right)\).
Khi đó \(d\left( {C',\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2 + 2.2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( {2;1;3} \right).\)
(a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right).\)
(b) Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
(c) Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)
(d) Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Khi đó, \(\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {10} }}.\)
a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right).\)
b) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
c) Bán kính mặt cầu \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.1 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\) .
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 0.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {10} }}\) .
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian \[Oxyz\] (đơn vị trên trục là mét), cho một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600m được đặt ở vị trí \(I\left( {200\,;\,450\,;\,60} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của \(m\) (làm tròn đến hàng đơn vị) để một người dùng điện thoại ở vị trí \(A\left( {m + 100\,;\,m + 370\,;\,0} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.
Để một người dùng điện thoại ở vị trí \(A\left( {m + 100\,;\,m + 370\,;\,0} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên thì \(IA \le 600\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 100 - 200} \right)}^2} + {{\left( {m + 370 - 450} \right)}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \le 600\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 100} \right)^2} + {\left( {m - 80} \right)^2} + {\left( { - 60} \right)^2} \le {600^2}\)\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 360m - 340000 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 332 \le m \le 512\).
Vậy giá trị lớn nhất của m là 512.
Trả lời: 512.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) và điểm M(a; b; 2) thuộc đường thẳng △. Mặt cầu (S) đi qua A(0; 1; −2) có phương trình là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {R^2}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + {R^2}\).
Vì M ∈ △nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + 2t\\b = 2 - t\\2 = 2t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\\t = 1\end{array} \right.\).
Vì A ∈ (S) nên \({\left( { - 3} \right)^2} + {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {R^2}\)\( \Leftrightarrow R = 5\).
Do đó \(T = a + b + {R^2} = 3 + 1 + 25 = 29\).
Trả lời: 29.
Trong không gian Oxyz, là đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 2), vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\), đồng thời tạo với đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) một góc lớn nhất. Biết phương trình đường thẳng có dạng \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{a} = \frac{{z - 2}}{b}\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \).
Do \(0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ \) mà theo giả thiết △ tạo d2 góc lớn nhất nên \(\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).
Lại có △ ⊥ d1 nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \). Do đó chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).
Ta có phương trình đường thẳng △ là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Vậy a = 5; b = 3 → \({a^2} + {b^2} = 34\).
Trả lời: 34.
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A(5;\;0;\;5)\) đến vị trí \(B(10;\;10;\;3)\) và hạ cánh tại vị trí \(M(a;\;b;\;0).\) Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5t\\y = 10t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Vì M ∈ (Oxy) → z = 0 → 5 – 2t = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).
Với \(t = \frac{5}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{35}}{2}\\y = 25\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{{35}}{2};25;0} \right)\).
Suy ra \(a = \frac{{35}}{2};b = 25\). Do đó \(a + b = \frac{{35}}{2} + 25 = 42,5\).
Trả lời: 42,5.
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.
Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.
Ta có phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).
Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\).
Vì H ID \( \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\).
Mà H (S) nên \({\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78\).
Với \(t \approx - 0,78\)\( \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\) và \(\overrightarrow {IH} = \left( { - 3978; - 485,94;39} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng.
Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.
Với \(t \approx 0,78\)\( \Rightarrow H\left( {3900;520,94;11} \right)\) và \(\overrightarrow {IH} = \left( {3978;485,94; - 39} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng.
Vậy H thuộc đoạn thẳng ID.
Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm \(H\left( {3900;520,94;11} \right)\) có cao độ là 11.
Trả lời: 11.
