Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2\)\( = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Diện tích cần tính là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - x} \right|} dx\)

Có x³ – x = 0 Û x = 0 hoặc x =1 hoặc x = −1.

Với xÎ [0; 1] thì x³ – x ≤ 0, x Î [1; 2] thì x³ – x ≥ 0.

Do đó S \( = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2\)\( = \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị Hình 1, ta có:

\(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{8}t,\;\;\;\;\;\;\;0 \le t < 8,\\10,\;\;\;\;\;\;\;\;\;8 \le t < 30,\\ - t + 40,\;\;30 \le t \le 40.\end{array} \right.\)

Quãng đường ca nô đi được là:

\(s = \int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^8 {\frac{{10}}{8}tdt} + \int\limits_8^{30} {10dt} + \int\limits_{30}^{40} {\left( { - t + 40} \right)dt} \)\( = \left. {\frac{{10{t^2}}}{{16}}} \right|_0^8 + \left. {10t} \right|_8^{30} + \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{2} + 40t} \right)} \right|_{30}^{40}\)

= 40 + 300 – 80 + 800 – 750 = 310 m.

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2\)= 4π.

Đáp án đúng là: A

Có \[{S_A} = \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|} _0^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2 + f\left( 0 \right) = 6\].

Mà \({S_B} = \int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = - \left[ {f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)} \right] = 3\)Þ f(5) = f(2) – 3 = 6 – 3 = 3.

a) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} \)\( = 4\int {{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}dx} - 3\int {\cos xdx} \)

\( = 4\int {\left( {4 - 12x + 9{x^2}} \right)dx} - 3\int {\cos xdx} \)\( = 4\left( {4x - 6{x^2} + 3{x^3}} \right) - 3\sin x + C\)

= 16x – 24x² + 12x³ – 3sinx + C.

b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} \)\( = 3\int {{x^3}dx} - \frac{1}{2}\int {{x^{ - 3}}dx} \)\( = \frac{{3{x^4}}}{4} + \frac{1}{{4{x^2}}} + C\).

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)\( = - 2\cot x - \frac{1}{3}\tan x + C\).

d) \(\int {\left( {{3^{2x - 2}} + 4\cos x} \right)dx} \)\( = \frac{1}{9}\int {{9^x}dx} + 4\int {\cos xdx} \)\( = \frac{1}{9}.\frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + 4\sin x + C\).

e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} \)\( = 4\int {{x^{\frac{4}{5}}}dx} + 3\int {{x^{\frac{{ - 3}}{2}}}dx} \)\( = \frac{{20}}{9}{x^{\frac{9}{5}}} - 6{x^{\frac{{ - 1}}{2}}} + C\).

g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)\( = \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \int {\left( {1 - \sin x} \right)dx} \)

\( = \int {dx} - \int {\sin xdx} \) = x + cosx + C.

Có \(F'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]^\prime }\)\( = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \frac{{1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Do đó \(\int {f\left( x \right)} = \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C\).

Có f'(x) = (x²lnx)' = 2xlnx + x = 2g(x) + x.

Suy ra \(g\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{2} - \frac{x}{2}\),

Ta có \(\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{2} - \frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{2}\int {f'\left( x \right)dx} - \frac{1}{2}\int {xdx} \)\( = \frac{1}{2}.f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + C\)

\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{4} + C\).

a) \(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + x} \right)dx} \)\( = 4\int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)\( = \left. {\left( {{x^4} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}\).

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x - 2}}{{{x^2}}}dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} - 2\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} \)\( = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)= ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

c) \(\int\limits_0^4 {{2^{2x}}dx} \)\( = \int\limits_0^4 {{4^x}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{256}}{{\ln 4}} - \frac{1}{{\ln 4}} = \frac{{255}}{{\ln 4}}\).

d) \(\int\limits_1^2 {\left( {{e^{x - 1}} + {2^{x + 1}}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{e}\int\limits_1^2 {{e^x}dx} + 2\int\limits_1^2 {{2^x}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{1}{e}.{e^x} + 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_1^2\)\( = e + \frac{4}{{\ln 2}} - 1\).

a) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \left. { - \cot x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = - 1 + \sqrt 3 \).

b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \tan x} \right)\cos xdx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin xdx} \)

\( = \left. {\left( {\sin x - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\)\( = 1\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5 là:

\(s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {3t + 4} \right)dt} = \left. {\left( {3\frac{{{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = 57,5\) m.

Tốc độ của chất điểm tại thời điểm t kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

\(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {3dt} = 3t + C\).

Vì v(0) = 1 nên C = 1.

Do đó v(t) = 3t + 1.

Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là: v(10) = 3.10 + 1 = 31 m/s.

a) Dân số của thành phố vào năm thứ t là:

\(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt} = \int {20.{{\left( {1,106} \right)}^t}dt} = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}} + C\).

Vì P(0) = 1008 nên \(20.\frac{1}{{\ln 1,106}} + C = 1008 \Rightarrow C \approx 809\).

Do đó \(P\left( t \right) = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}} + 809\).

Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là:

\(P\left( 5 \right) = 20.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^5}}}{{\ln 1,106}} + 809 \approx 1137\) nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là:

\(\frac{1}{5}\int\limits_0^5 {P'\left( t \right)dt} = \frac{1}{5}\int\limits_0^5 {20.{{\left( {1,106} \right)}^t}dt} = \left. {4.\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^t}}}{{\ln 1,106}}} \right|_0^5\)

\( = 4.\left( {\frac{{{{\left( {1,106} \right)}^5}}}{{\ln 1,106}} - \frac{1}{{\ln 1,106}}} \right)\)≈ 26 nghìn người/năm.

a) Quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây là:

\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {10tdt} = 5{t^2} + C\).

Vì s(0) = 0 nên C = 0.

Do đó s(t) = 5t² .

b) Vật chạm đất khi s(t) = 100 Û 5t² = 100 Þ \(t = 2\sqrt 5 \) (vì t > 0).

Vậy vật chạm đất sau \(2\sqrt 5 \approx 4,47\) giây.

Tốc độ rơi trung bình là \(\frac{1}{{2\sqrt 5 }}\int\limits_0^{2\sqrt 5 } {10tdt = } \frac{1}{{2\sqrt 5 }}.\left. {5{t^2}} \right|_0^{2\sqrt 5 } = 10\sqrt 5 \) m/s.

Ta có \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3\)\( = \frac{9}{2}\).

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left| x \right|} dx + \int\limits_3^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 x dx + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)

\( = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_3^4\)\( = \frac{9}{2} + \frac{{32}}{3} - 9 = \frac{{37}}{6}\).

Do đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{37}}{6} = \frac{{27}}{{37}}\).

Diện tích của mặt cắt là: \(S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2}\).

Dung tích của chậu là:

\(V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx} = \pi \int\limits_0^{16} {{{\left( {10 + \sqrt x } \right)}^2}dx} \) \( = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {100 + 20\sqrt x + x} \right)dx} \)

\( = \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)\( = \frac{{7744}}{3}\pi \).

Diện tích mặt cắt là: \(S\left( x \right) = \left( {9 - {x^2}} \right)\) (m²).

Thể tích của lều là: \(V = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3\)= 18.

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có r = 2 là: \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \pi \left( {\frac{{11}}{3} + \frac{{11}}{3}} \right) = \frac{{22\pi }}{3}\).