22 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)và có \[\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 9;\;\int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 4.\]Tính \(I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} .\)
\(I = 36\).
\(I = 5\).
\(I = \frac{9}{4}\).
\(I = 13\).
Chọn D
\(I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 9 + 4 = 13\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( t \right)dt} \).
\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {f'\left( x \right)} \right|_b^a = f'\left( b \right) - f'\left( a \right)\).
Chọn D
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(S\)là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(S = \int\limits_c^d {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_d^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\[S = - \int\limits_c^d {f\left( x \right){\rm{d}}x - \int\limits_d^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \].
\[S = \int\limits_c^d {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_d^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \].
\[S = - \int\limits_c^d {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_d^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \].
Chọn A
\(S = \int\limits_c^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_c^d {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_d^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx} \).
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx + \int {g\left( x \right)} \,dx\).
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx - \int {g\left( x \right)} \,dx\).
\(\int {kf\left( x \right)} \,dx = k\int {f\left( x \right)} \,dx\)với mọi hằng số k.
\(\int {dx} \, = x + C\).
Chọn C
\(\int {kf\left( x \right)} \,dx = k\int {f\left( x \right)} \,dx,k \ne 0\).
\(4\).
\(1\).
\(5\).
\(7\).
Chọn C
\(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {{\rm{d}}x} = 3 + \left. x \right|_0^2 = 5\).
\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right|\).
Chọn B
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\).
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\).
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Chọn B
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \( - \cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = 2\).
Khi đó \(F\left( x \right) = - \cos x + 2\). Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + 2 = 2\).
4.
3.
2.
1.
Chọn B
\(\int\limits_1^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^2 = 3\).
\(3\cos x + \ln x + C\).
\(3\cos x + \frac{1}{x} + C\).
\( - 3\sin x + \frac{1}{x} + C\).
\(3\sin x - \frac{1}{x} + C\).
Chọn D
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3\cos x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = 3\sin x - \frac{1}{x} + C\).
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),y = 0,x = - 1,x = 2\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x{\rm{ }} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x\].
\[S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x\].
\[S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x\].
\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{ d}}x\].
Chọn A
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
\[V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \].
\[V = 2\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \].
\[V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \].
\[V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \].
Chọn A
\[V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \].
Tính thể tích chứa được (dung tích) của một cái chén (bát), biết phần trong của nó có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục \[Ox\] hình phẳng giới hạn bởi đường \[y = \sqrt {2x} + 2\] và trục \[Ox\] (như hình vẽ), bát có độ sâu 5 cm, đơn vị trên trục là centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
78 cm3.
274 cm3.
87 cm3.
247 cm3.
Chọn B
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {2x} + 2} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^5 {\left( {2x + 4\sqrt {2x} + 4} \right)dx} \)
\( = \left. {\pi \left( {{x^2} + 4\sqrt 2 .\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 4x} \right)} \right|_0^5 = \pi \left( {45 + \frac{{40\sqrt {10} }}{3}} \right) \approx 274\) cm3.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right)\).
a)\[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\].
b) Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 2 \right) = \frac{{25}}{3}\).
c) Nếu \[\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2\] thì \(k = \frac{3}{{10}}\).
d) Biết \[\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = a + a\ln b\], \(a,b \in \mathbb{Z}\). Khi đó: \(3a - 5b = - 8\).
a) \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\].
b) \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1\).
Vậy \(F\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} + {2^2} + 1 = \frac{{23}}{3}\).
c) \[\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2\]\[ \Leftrightarrow k\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = 2\]\[ \Leftrightarrow \left. {k\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = 2\]\[ \Leftrightarrow \frac{{20k}}{3} = 2\]\[ \Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}\].
d) \[\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx} \]\[ = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} \]\[ = \left. {\left( {x + 2\ln x} \right)} \right|_1^3\]\[ = 2 + 2\ln 3\].
Suy ra a = 2; b = 3. Do đó \(3a - 5b = - 9\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một vật đang chuyển động với tốc độ \[v = 20\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] thì thay đổi vận tốc với độ lớn của gia tốc được tính theo thời gian \(t\) là \(a\left( t \right) = - 4 + 2t\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
a) Tốc độ của vật sau khi thay đổi là \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t\)\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
b) Tốc độ của vật tại thời điểm \(t = 4\)là \[v = 20\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]
c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian \(3\) giây kể từ khi bắt đầu thay đổi tốc độ là 9\(\left( {\rm{m}} \right)\)
d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt tốc độ bé nhất là \(\frac{{104}}{3}\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
a) Ta có \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 4 + 2t} \right)dt} = - 4t + {t^2} + C\).
Vì v(0) = 20 \( \Rightarrow C = 20\). Do đó \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20\).
b) Ta có \(v\left( 4 \right) = {4^2} - 4.4 + 20 = 20\) m/s.
c) Có \(S = \int\limits_0^3 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^3 = 51\) m.
d) \(v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20 = {\left( {t - 2} \right)^2} + 16 \ge 16\).
Tốc độ vật bé nhất khi t = 2.
Khi đó \(s = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 4t + 20} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - 2{t^2} + 20t} \right)} \right|_0^2 = \frac{{104}}{3}\) m.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho số thực \(a\)và hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\a\left( {x - {x^2}} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\end{array} \right.\).
a)\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^0 {2x} {\rm{d}}x\).
b) \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = - \frac{a}{6}\].
c) Khi \(a = 2\), \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{2}{3}\).
d) Điều kiện cần và đủ để \(\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} > 3\) là \(a > - 6\).
a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^0 {2x} {\rm{d}}x\).
b) \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {a\left( {x - {x^2}} \right)} {\rm{d}}x\]\[ = \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{a}{6}\].
c) Với \(a = 2\) thì \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^0 + \frac{2}{6} = - 1 + \frac{2}{6} = \frac{{ - 2}}{3}\).
d) \(\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} > 3\)\( \Leftrightarrow \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^2 {f\left( x \right)dx} > 3\)\( \Leftrightarrow \int_{ - 1}^0 {2xdx} + \int_0^2 {a\left( {x - {x^2}} \right)dx} > 3\)
\( \Leftrightarrow \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 > 3\)\( \Leftrightarrow - 1 - \frac{{2a}}{3} > 3\)\( \Leftrightarrow a < - 6\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\) và \(y = g\left( x \right) = 0,{7^x}\) như hình vẽ
a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\).
b) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 0\) xung quanh trục hoành bằng 9π.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) quanh trục hoành có giá trị xấp xỉ bằng 7,9 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
d) Khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\) quanh trục hoành có thể tích xấp xỉ bằng 4,4 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{2}\).
b) \[{V_1} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{3}\].
c) \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {0,{7^{2x}}dx} = \pi \int\limits_0^2 {0,{{49}^x}dx = \left. {\frac{{\pi 0,{{49}^x}}}{{\ln 0,49}}} \right|} _0^2 \approx 3,3\).
d) \(V = {V_1} + {V_2} \approx 4,4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên ℝ\{0} thỏa mãn \(f\left( x \right) = x + 5 - \frac{6}{x}\).
a) f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}{x^2} + 5x - 6\ln x + C\).
c) Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn F(1) = 5. Khi đó \(F\left( 2 \right) = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(2) + G(−1) = 5. Khi đó \(G\left( { - 6} \right) = - 13 - 6\ln 3\).
a)Có \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)\).
Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C\).
c) Có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
d) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.\).
Ta có \(G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}\).
Có \(G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1\).
Khi đó \(G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 = - 13 - 6\ln 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {{e^x} + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Thể tích cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + 1} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{e^x} + x} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {{e^2} - e + 1} \right) \approx 17,8\).
Trả lời: 17,8.
Một ô tô đang chạy với vận tốc \[10m/s\] thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = - 2t + 10\left( {m/s} \right)\], trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường (m) ô tô di chuyển được trong \[8\] giây cuối cùng.
Ta có \[ - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \Rightarrow \] Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \[5\] giây.
Vậy trong \[8\] giây cuối cùng thì có \[3\] giây ô tô chuyển động với vận tốc \[10m/s\] và \[5\] giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = - 2t + 10\left( {m/s} \right)\].
Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là \[S = 3.10 + \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right)} dt = 30 + 25 = 55m\].
Trả lời: 55.
Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), vì đỉnh trại cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).
Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\3 = c\\0 = a.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{4}{3}\\c = 3\end{array} \right.\]
Suy ra parabol có phương trình \(y = f\left( x \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 3\).
Mỗi mặt phẳng vuông góc \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x,\,0 \le x \le h\]cắt khối chóp theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là \[5\] và \[\,\left| {f\left( x \right)} \right|\], có diện tích \(S\left( x \right) = 5.\left| {f\left( x \right)} \right|\) , với \( - \frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}\).
Vậy thể tích phần không gian trong trại là \(V = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {5.\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = 5.\int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - \frac{4}{3}{x^2} + 3} \right|dx = 30\,\,\,{m^3}} \).
Trả lời: 30.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2\) với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = 2 - 3\ln 2\). Tính \(T = a + b\).
\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\]\( = a + 1 + b\ln 2\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.\). Do đó \(T = a + b = - 2\).
Trả lời: −2.
Cho \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^x}\). Tính tổng \(S = a + b + c\)
Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
\[F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\]\[ = \left( {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right){e^x}\].
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(S = a + b + c = 2\).
Trả lời: 2.
