Đáp án đúng là: A

a) Giả sử hàm F(x) = G(x) = ax³ + bx² + cx + d

Suy ra F'(x) = f(x) = 3ax² + 2bx + c ; G'(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Do đó, nếu F(x) = g(x) thì f(x) = g(x).

b) Giả sử f(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Lúc này\[\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + {C_1},{\rm{ }}{C_1} \in \mathbb{R}} \];

Tồn tại trường hợp C₁ ≠ C₂ nên không thể khẳng định nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) \[\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} \]\[\int {g\left( x \right)dx = G\left( x \right) + {C_2},{\rm{ }}{C_2} \in \mathbb{R}.} \]

d) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K do đó F'(x) = f(x) và F''(x) = f'(x).

Do đó, \[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} \] Do đó d) sai.

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 4\\a{.2^2} + b.2 + c = 0\\a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b = - 4\\4a - 2b = - 4\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\].

Do đó y = f(x) = 4 – x².

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

\[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx\]

\[ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} \]

Theo đề bài, ta có: f(−1) = 1 và f'(x) = 3x² – 6x + 2.

Ta có \[f\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 6x + 2} \right)dx = } \] x³ – 3x² + 2x + C.

Mà f(−1) = 1 nên (−1)³ – 3.(−1)² + 2.(−1) + C = 1 hay C = 7.

Vậy f(x) = x³ – 3x² + 2x + 7.

a) Ta có: \[{\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx = \int {\left( {9{x^2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)} dx\]

                                      \[ = \int {9{x^2}dx - \int {\frac{6}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \]

                                                           \[ = 3{x^3} - 6\ln \left| x \right| - \frac{1}{{3{x^3}}} + C\].

b) Ta có: \[\int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx = \int {\left( {7{x^{\frac{4}{3}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}} \right)dx} \]

                                               \[ = 7.\frac{3}{7}{x^{\frac{7}{3}}} - \left( { - 2} \right){x^{ - \frac{1}{2}}} + C\]

                                                                         \[ = 3{x^2}.\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }} + C\].

c) Ta có:

\[{\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx = \int {{{\left( {{9^x} - 1} \right)}^2}dx = \int {\left( {{9^{2x}} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx} } \]

                     \[ = \int {\left( {{{81}^x} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx} \]

                     \[ = \frac{{{{81}^x}}}{{\ln 81}} - \frac{{{{2.9}^x}}}{{\ln 9}} + x + C\]

                     \[ = \frac{{{3^{4x}}}}{{4\ln 3}} + \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + x + C\].

d) Ta có:

\[\int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2 - 3.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)dx} \]

                             \[ = \int {\left( {2 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx} \]

                             \[ = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)} dx\]

                             \[ = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C\].

a) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \]

                 \[ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \]

           \[ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\]

           \[ = \ln 2 + \frac{{16}}{3}.\]

b) Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} \]

                                  \[ = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\]

                                  = e² − e + ln2.

c) Ta có:

\[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)}}dx} \]

                 \[ = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \]

                 \[ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1\]

                \[ = \frac{4}{{\ln 4}} - \frac{2}{{\ln 2}} + 1 - \frac{1}{{\ln 4}} + \frac{1}{{\ln 2}}\]

                         \[ = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\].

d) Ta có:

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \]

                      \[ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} \]

                      \[ = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\].

Ta có: \[\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} } \] = 6 – 3 = 3.

          \[\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} } \] = 4 + 3 = 7.

Vậy \[\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}  = 7.\]

Quan sát đồ thị, ta thấy f(1) = 2 và f(−1) = −1.

Ta có: \[\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1\] = f(1) – f(−1) = 2 – (−1) = 3.

Ta có: f(2) – f(0) = \[\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} \]

                           \[ = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} } \]

                           \[ = \int\limits_0^1 {\left( {4 - 3{x^2}} \right)dx + \int\limits_1^2 {1dx} } \]

                           \[ = \left. {\left( {4x - {x^3}} \right)} \right|_0^1 + \left. x \right|_1^2 = 4\].

Vậy f(2) – f(0) = 4.

Ta có: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx} \]

             \[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos xdx}  + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2f'\left( x \right)dx} \]

        \[ = \left. {3\sin x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} + \left. {2f\left( x \right)} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}\]

        \[ = 3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2f\left( 0 \right) =  - 5\].

Mà f(0) = 1 suy ra \[3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2 =  - 5\] hay \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - 3\].

Ta có: \[S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} }  = \frac{{16}}{3}.\]

           \[{S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \]

  Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

  \[{S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}}  = \frac{8}{3}\]

             \[ \Leftrightarrow \sqrt {{a^3}}  = 4\]

                    \[ \Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}\].

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}dx = } \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 + 2{x^2} + {x^4}} \right)dx} \]

    \[ = \left. {\pi \left( {x + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56\pi }}{{15}}.\]

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

\[V = \pi \int\limits_0^9 {{{\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right)}^2}dx} \]

    = \[{\rm{ }}\pi \int\limits_0^9 {\left( {1 - \frac{1}{2}\sqrt x  + \frac{1}{{16}}x} \right)dx} \]

    \[ = \left. {\pi \left( {x - \frac{1}{3}x\sqrt x  + \frac{1}{{32}}{x^2}} \right)} \right|_0^9 = \frac{{81\pi }}{{32}}\].

Vậy \[V = \frac{{81\pi }}{{32}} \approx 7,95\] (m).

a) Ta có:

Mà v(0) = v₀ = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

\[s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {3t + 5} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^5\] = 62,5 (m).

a) Ta có: \[y'\left( t \right) = {\left[ {\ln N\left( t \right)} \right]^\prime }\]

                        \[ = \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \frac{{0,2N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2.\]

Suy ra \[y\left( t \right) = \int {y'\left( t \right)dt = \int {0,2dt = 0,2t + C.} } \]

Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e^{0,2t + C} = C₀.e^0,2 (với C₀ = e^C).

Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C₀ = 2 000.

Do đó, N(t) = 2 000.e^0,2t, 0 ≤ t ≤ 5.

b) Ta có: N(3) = 2 000. e^0,2.3 ≈ 3 600 (cá thể).