Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án

Biết rằng f'(x) = 8x³ – 4x + 2 và f(1) = 4. Hàm số f(x) là:

A. 2x⁴ – 2x² + x + 4.

B. 2x⁴ – 2x² + 2x + 2.

C. 8x⁴ – 4x² + x.

D. 8x⁴ – 4x² + x + 4.

Hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (0; 2) và f'(x) = cosx – sinx. Giá trị của f(π) là:

A. −1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Phát biểu nào sau đây đúng?

A. \[\int {{3^{2x}}dx = {9^x}.\ln 9 + C.} \]

B. \[\int {{3^{2x}}dx = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + C.} \]

C. \[\int {{3^{2x}}dx = {{\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)}^2} + C.} \]

D. \[\int {{3^{2x}}dx = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C.} \]

Cho hàm số \[f\left( x \right) = 4\sqrt[3]{x}\]. Giá trị của \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_8^3 {f\left( x \right)dx} } \] bằng:

A. 45.

B. 80.

C. 15.

D. \[18\sqrt[3]{3} - 51\].

Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn \[\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = a{{\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]}^2}} \]. Giá trị của a là:

A. 2.

B. \[\frac{1}{4}.\]

C. 4.

D. \[\frac{1}{2}.\]

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 1) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm (x; f(x)) là 1 – 4x. giá trị của f(3) là:

A. −12.

B. −13.

C. −15.

D. −30.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn \[\int\limits_1^3 {\left[ {3{x^2} - 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 4;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = - 2\]. Giá trị f(3) là:

A. 9.

B. 11.

C. −13.

D. 19.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = e^x – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln4 là:

A. 1.

B. 3.

C. 2ln2 – 1.

D. 3 – 4ln2.

Cho K là một khoảng trên ℝ; F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

a) Nếu F(x) = G(x) thì f(x) = g(x).

b) Nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) \[\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} \]

d) \[\int {f'\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} \]

Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\]

c) \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx.} \]

d) \[S = \frac{{16}}{3}.\]

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 6x + 2. Tìm hàm số y = f(x), biết đồ thị của nó đi qua điểm (−1; 1).

Tìm:

a) \[{\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx\];

b) \[\int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx\] (x > 0).

c) \[{\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx\];

d) \[\int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\].

Tính:

a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \];

b) \[\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \];

c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \];

d) \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \].

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính \[\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \], biết rằng \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 4;\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx = 6;\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 3.} } \]

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ. Tính \[\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx} \].

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}4 - 3{x^2},x < 1\\1,x \ge 1.\end{array} \right.\].

Tính f(2) – f(0).

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] và thỏa mãn \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx =  - 5;f\left( 0 \right) = 1} \]. Tính giá trị \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\].

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị \[y = \sqrt x \], trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 1 + x², trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục Ox.

Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột x (m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính  \[1 - \frac{{\sqrt x }}{4}\] (m) với 0 ≤ x ≤ 9. Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v₀ = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s².

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N'(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5,

trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.

a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.

Chứng tỏ rằng y'(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).