Giải SGK Toán 12 CD Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án

Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng ID là (t là tham số).

Giả sử H là vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó IH = R.

Ta có H ∈ ID nên gọi tọa độ điểm H(21 + 5 100t; 35 + 623t; 50 – 50t).

.

IH = R

⇔ t ≈ ± 0,78.

+ Với t ≈ 0,78, ta có H(3 999; 520,94; 11), = (3 978; 485,94; – 39).

Khi đó nên hai vectơ cùng hướng, vậy thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.

+ Với t ≈ – 0,78, ta có H(– 3 957; – 450,94; 89), = (– 3 978; – 485,94; 39).

Khi đó nên hai vectơ ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).

Đáp án đúng là: B

Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là (2; 3; – 4).

Đáp án đúng là: A

Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng .

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

(x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Ta có (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100 ⇔ (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 + (z – 7)2 = 102.

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; – 2; 7) và bán kính R = 10.

Do IA = < 10 nên điểm A(1; 1; 1) nằm trong mặt cầu đó.

Do IB =  = 10 nên điểm B(9; 4; 7) nằm trên mặt cầu đó.

Do IC =  > 10 nên điểm C(9; 9; 10) nằm ngoài mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2 là:

(x – 3)2 + (y + 7)2 + (z – 1)2 = 4.

Ta có R = IM = .

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2) là:

(x + 1)2 + (y – 4)2 + (z + 5)2 = 74.

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = ;

MB = ;

MC = = 12; 

MD = .

Từ đó ta có hệ phương trình .

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)2 – (3 – x)2 + (9 – y)2 – (– 1 – y)2 = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)2 – (9 – y)2 + (18 – z)2 – (6 – z)2 = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: + (4 – y)2 + (8 – 2y)2 = 49

⇔ 45y2 – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = .

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = thì x = , z = . Khi đó M.

Thử lại bằng cách thay x = , y = , z = vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.