Giải SGK Toán 12 CD Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án

Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?

Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính đường kính của mặt cầu đó.

Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c). Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I.

Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c). Nêu mối liên hệ giữa x, y, và z để điểm M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x2 + (y + 5)2 + (z + 1)2 = 2.

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

 Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ; 

Viết phương trình của mặt cầu, biết: Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7)

Chứng minh rằng phương trình

x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là:

A. (– 2; – 3; 4).

B. (2; 3; – 4).

C. (2; – 3; – 4).

D. (2; – 3; 4).

Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng:

A. 3.

B. 9.

C. 81.

D. .

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4.

B. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 16.

C. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 4.

D. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100.

Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0.

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2;

Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);

Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.