20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: B

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;1; - 3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Mặt phẳng \(3x - 3y + z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 3;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow n = 2.3 + 1.\left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right).1 = 0\). Do đó mặt phẳng \(3x - 3y + z - 7 = 0\) vuông góc với mặt phẳng (α).

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right) = - \overrightarrow n \).

Suy ra \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được \(2.8 - 3.3 - 3 - 4 = 0\) M ∈ (P).

c) \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.9 - 3.0 + 1 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{15}}{{\sqrt {14} }}\).

d) (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P) nên (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \(\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 3y + 2z + 11 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).

b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3x + y + 2z - 3 = 0\).

c) Trung điểm I của AB có tọa độ là \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).

d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).

b) \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0\) \( \Rightarrow M \in \left( Q \right)\).

c) Vì (P) // (Q) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1\).

d) Vì (α) // (Q) nên \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + d = 0\).

Có \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6 + d} \right|}}{3} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 12\end{array} \right.\).

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: \(2x - y + 2z = 0;2x - y + 2z - 12 = 0\).

Đáp án: a) Sai ; b) Sai; c) Đúng ; d) Sai.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 4;4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_Q}} = 2\overrightarrow {{n_P}} \) và \(7 \ne 2.\left( { - 3} \right)\). Do đó (P) // (Q).

b) Lấy điểm A(3; 0; 0)  (P).

Khi đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{13}}{6}\).

c) Lấy điểm C(2b – 2c + 3; b; c)  (P).

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {2b - 2c;b - 9;c + 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 9;2} \right)\).

Để A, B, C thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - 2c = - k\\b - 9 = - 9k\\c + 1 = 2k\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 18k + 18 - 4k + 2 = - k\\b = - 9k + 9\\c = 2k - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{20}}{{21}}\\b = \frac{3}{7}\\c = \frac{{19}}{{21}}\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {\frac{{43}}{{21}};\frac{3}{7};\frac{{19}}{{21}}} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\), mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( { - 2; - 1;0} \right)\).

Mặt phẳng (β) đi qua điểm B và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Oxy) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x - 2} \right) - y = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\).

Đáp án: a) Đúng ; b) Sai; c) Đúng ; d) Sai.

a) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 4\) .

b) (P) cắt trục Ox tại điểm \(\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right)\) có hoành độ \( - \frac{3}{2}\) .

c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\) .

d) Vì M  (P) nên 2a – 2b + c + 3 = 0 (1).

Lại có \(AM = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\)  M là hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b + 2;c - 3} \right)\) cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\) .

Khi đó ta có \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b + c + 3 = 0\\\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{3}\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3}\) .

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Vì (P) đi qua điểm M nên \(a.2 - 3.1 + 1 - 8 = 0 \Rightarrow a = 5\).

Trả lời: 5.

Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 5 = 0\\x - 2y - 3z + 20 = 0\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất chọn \(x = - 5 \Rightarrow y = 0\)thay vào phương trình còn lại ta được \(z = 5\).

Vậy điểm A(−5; 0; 5) là một điểm thuộc đường nóc nhà.

Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) và bằng 5.

Trả lời: 5.

Ta có \(C\left( {2;4;0} \right)\); \(M\left( {0;2;2} \right)\); \(G\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {0;2;2} \right),\overrightarrow {AG} = \left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AG} } \right] = \left( {0;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}} \right) = \frac{8}{3}\left( {0;1; - 1} \right) = \frac{8}{3}\overrightarrow n \).

Mặt phẳng (AMG) đi qua A nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(y - z = 0\).

Khi đó \(d\left( {B,\left( {AMG} \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt 2 }} \approx 2,83\).

Trả lời: 2,83.

Ta có A(1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 12x + 4y + 3z - 12 = 0\).

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {12;4;3} \right)\).

Do đó a = 12; b = 3. Vậy 2a + b = 27.

Trả lời: 27.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0\).

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D là \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{3}\).

Suy ra a = 5; b = 3. Do đó T = 5 – 2.3 = −1.

Trả lời: −1.