(Đúng sai) 32 bài tập Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 2

A. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)           SAI

C. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng (P)  là:  \[d(A,(P)) = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\] ĐÚNG

a) Sai

\(1 - 5 + 2.\left( { - 2} \right) - 1 =  - 9 \ne 0\) nên \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua điểm \(A\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\;\overrightarrow {{n_\beta }}  = 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = 0\). Suy ra, \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\left( \beta  \right)\).

d) Gọi \(M\left( {2;\,3;\,0} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

 \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\) là \(2.\left( {x - 2} \right) - 4.\left( {y - 3} \right) + 4.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 4 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {1.\,0 + \,\left( { - 2} \right).0 + 2.\,1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}.\)

a) Đúng

Vectơ \(\left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

b) Đúng 

Ta có: \(2.0 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 1 \ne 0\). Suy ra, \(\left( \beta  \right)\) không đi qua điểm \(B\left( {0;\, - 1;\,1} \right)\)

c) Đúng 

Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{3}\). Suy ra \(\left( \alpha  \right)//\,\left( \gamma  \right)\).

d) Sai

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right);\,\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( { - 1;\,5;\,3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\left( \beta  \right)\) nên nhận cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} \)

Suy ra, \(\left( \gamma  \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 5;\, - 3} \right)\) có dạng \(x - 5y - 3z + D = 0\)

Mặt khác, \(d\left( {A;\,\gamma } \right) = \frac{{\left| {0 - 5.\,1 - 3.\,\left( { - 3} \right) + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {35} }}{5}\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 3\\D =  - 11\end{array} \right.\)

Vậy, mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) có phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x - 5y - 3z + 3 = 0\\x - 5y - 3z - 11 = 0\end{array} \right.\).

a) Sai

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).

Ta có : \(\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{1}{3}\) nên \(\left( P \right)\) không song song \(\left( Q \right)\).

c) \(d\left( {A;Q} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 4.\left( { - 1} \right) + 3.5 + 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = 3\sqrt 2  \ne 2\)

Suy ra, \(\left( R \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ;\,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;\, - 1;\, - 2} \right)\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( R \right)\)có phương trình : \(0.\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) - 2.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z = 0\)

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( R \right)\) và \(\left( Q \right)\). Vậy,

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {0.5 + 1.\left( { - 4} \right) + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{5\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{25}}\) \( \Rightarrow \varphi  = {82^o}44'\).

= (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

a- Đúng

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

c- Sai

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)