Giải SGK Toán 12 CD Bài 1. Phương trình mặt phẳng có đáp án
57 câu hỏi
Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1).
Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng là gì?
Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?
Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:
+ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng (P) có phương trình dạng
Ax + By + Cz + D = 0,
trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0.
+ Để lập được phương trình của mặt phẳng ta cần biết một điểm nằm trên mặt phẳng và biết vectơ pháp tuyến (hoặc cặp vectơ chỉ phương) của mặt phẳng.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (Hình 2). Giá của vectơ 
có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không?
Giá của vectơ 
chính là đường thẳng AA'.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên AA' ⊥ (ABCD).
Vậy giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:
Mặt phẳng (Oyz);
Vectơ có giá là trục Ox và Ox ⊥ (Oyz) nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:
Mặt phẳng (Ozx).
Vectơ có giá là trục Oy và Oy ⊥ (Ozx) nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ 
có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ và mặt phẳng (ABCD) (Hình 5).
Vectơ 
có giá là đường thẳng AB, vectơ 
có giá là đường thẳng A'D'.
+ Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên hai đường thẳng AB và A'D' chéo nhau. Do đó, hai vectơ 
không chéo nhau.
+ Vì AB ⊂ (ABCD) nên giá của vectơ nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Vì A'D' // (ABCD) nên giá của vectơ song song mặt phẳng (ABCD).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
+ Do hai vectơ 
không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oxy).
+ Do hai vectơ 
không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oyz).
+ Do hai vectơ 
không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Ozx) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Ozx).
Cho cặp vectơ chỉ phương 
, 
của mặt phẳng (P).
Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ 
vuông góc với cả hai vectơ 
và 
(Hình 6).
Ta có vectơ 
vuông góc với cả hai vectơ 
và 
vì:
;
.
Cho cặp vectơ chỉ phương 
, 
của mặt phẳng (P). Vectơ 
có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không?
Ta có vectơ 
vuông góc với cả hai vectơ 
và 
, có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (P).
Suy ra giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (P).
Mà 
, do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong Ví dụ 3, vectơ 
có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?
Ta có 
, do đó vectơ 
vuông góc với cả hai vectơ 
và 
. Vậy vectơ 
cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến là 
.
Giả sử M(x; y; z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7).
Tính tích vô hướng 
theo x, y, z.
Ta có 
.
Khi đó, 
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến là 
.
Giả sử M(x; y; z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7).
Tọa độ (x; y; z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?
Tọa độ (x; y; z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0.
Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau:
(P): x – y = 0;
Ta có x – y = 0 ⇔ 1 ∙ x + (– 1) ∙ y + 0 ∙ z = 0.
Mặt phẳng (P) nhận 
làm vectơ pháp tuyến.
Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau:
(Q): z – 2 = 0.
Ta có z – 2 = 0 ⇔ 0 ∙ x + 0 ∙ y + 1 ∙ z – 2 = 0.
Mặt phẳng (Q) nhận 
làm vectơ pháp tuyến.
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x0; y0; z0) có 
là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).
Tính tích vô hướng 
.
Ta có 
.
Khi đó: 
= A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0).
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x0; y0; z0) có 
là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9).
Hãy biểu diễn 
theo x0, y0, z0; x, y, z và A, B, C.
Ta có 
= A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Ax + By + Cz – Ax0 – By0 – Cz0.
Cho hai điểm M(2; 1; 0) và N(0; 3; 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN là mặt phẳng đi qua trung điểm của MN và vuông góc với MN.
Gọi I là trung điểm của MN.
Tọa độ của điểm I là 
. Suy ra I(1; 2; 0).
Ta có 
. Chọn 
.
Gọi mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 2; 0) và nhận 
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1(x – 1) – 1(y – 2) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 1 = 0.
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là 
, 
(Hình 10).
Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến 
của mặt phẳng (P).
Một vectơ pháp tuyến 
của mặt phẳng (P) là:
.
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là 
, 
(Hình 10).
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2), biết vectơ pháp tuyến 
.
Phương trình mặt phẳng (P) là:
5(x – 1) + 4(y – 3) – 3(z + 2) = 0 ⇔ 5x + 4y – 3z – 23 = 0.
Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x0; y0; z0). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó có cặp vectơ chỉ phương là 
.
Ta có 
.
Xét vectơ 
, tức là 
. Khi đó 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:
0(x – x0) + 0(y – y0) + 1(z – z0) = 0 ⇔ z – z0 = 0.
Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).
Tìm tọa độ của các vectơ 
. Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng.
Ta có 
.
Nhận thấy 
với mọi số thực k ≠ 0 nên hai vectơ 
không cùng phương.
Vậy H, I, K không thẳng hàng.
Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(– 1; 1; 2), biết cặp vectơ chỉ phương là 
.
Xét vectơ 
, tức là 
. Khi đó, 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:
6(x + 1) – 6(y – 1) + 6(z – 2) = 0 ⇔ x – y + z = 0.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2) và P(– 1; 0; 0).
Ta có 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, P.
Vậy mặt phẳng (MNP) có phương trình là:
1(x – 1) – 3(y – 2) + 4(z – 1) = 0 ⇔ x – 3y + 4z + 1 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
.
Cho mặt phẳng (P1):
2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1)
và mặt phẳng (P2):
x + y + z – 1 = 0 (2)
Gọi 
, 
lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1), (P2) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa 
và 
.
Ta có 
. Vậy 
.
Cho mặt phẳng (P1):
2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1)
và mặt phẳng (P2):
x + y + z – 1 = 0 (2)
Tìm các hệ số tự do D1, D2 lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh D1 và 2D2.
Ta có D1 = 1, D2 = – 1, 2D2 = – 2. Nhận thấy D1 ≠ 2D2.
Cho mặt phẳng (P1):
2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1)
và mặt phẳng (P2):
x + y + z – 1 = 0 (2)
Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P1), (P2).
Hai mặt phẳng (P1), (P2) song song với nhau.
Cho m ≠ 0. Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).
+ Ta có (Oyz): x = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) là 
.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
.
Do 
và m ≠ 0 nên (P) // (Oyz).
+ Ta có (Ozx): y = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là 
.
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là 
.
Do 
và m ≠ 0 nên (Q) // (Ozx).
+ Ta có (Oxy): z = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là 
.
Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến là 
.
Do 
và m ≠ 0 nên (R) // (Oxy).
Cho mặt phẳng (P1) có phương trình tổng quát là:
x + 2y + z + 1 = 0
và mặt phẳng (P2) có phương trình tổng quát là:
3x – 2y + z + 5 = 0.
Gọi 
lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1), (P2). Hai vectơ 
có vuông góc với nhau hay không?
Ta có 
.
Vậy hai vectơ 
vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.
Ta có (Ozx): y = 0.
Hai mặt phẳng (Ozx) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là 
và 
.
Vì 
= 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 2 = 0 nên 
. Vậy (Ozx) ⊥ (P).
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với 
là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M0(2; 3; 4). Gọi H(xH; yH; zH) là hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng (P) (Hình 16).
Tính tọa độ của 
theo xH, yH, zH.
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với 
là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M0(2; 3; 4). Gọi H(xH; yH; zH) là hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng (P) (Hình 16).
Nêu nhận xét về phương của hai vectơ 
. Từ đó, hãy suy ra rằng
.
Vì H là hình chiếu vuông góc của M0 trên mặt phẳng (P) nên HM0 ⊥ (P).
Vectơ 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (P).
Từ đó suy ra đường thẳng HM0 và giá của vectơ song song hoặc trùng nhau.
Do vậy, hai vectơ 
cùng phương.
Suy ra 
= |A(2 – xH) + B(3 – yH) + C(4 – zH)|
= |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– AxH – ByH – CzH)|. (1)
Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có
AxH + ByH + CzH + D = 0, suy ra D = – AxH – ByH – CzH. (2)
Thay (2) và (1) ta được = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.
Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với 
là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M0(2; 3; 4). Gọi H(xH; yH; zH) là hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng (P) (Hình 16).
Tính các độ dài 
theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M0(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).
Ta có 
.
Từ câu b) suy ra 
.
Vậy d(M0, (P)) = 
.
Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng |a|, |b|, |c|.
+ Ta có (Oyz): x = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oyz) là:
d(M, (Oyz)) = 
= |a|.
+ Ta có (Ozx): y = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Ozx) là:
d(M, (Ozx)) = 
= |b|.
+ Ta có (Oxy): z = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy) là:
d(M, (Oxy)) = 
= |c|.
Cho mặt phẳng (P1): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng (P2): 3x – 4y + 2 = 0.
Chứng minh rằng (P1) // (P2).
Ta có 
, 
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P1), (P2). Do 
, D1 ≠ 2D2 (vì D1 = – 3, D2 = 2) nên (P1) // (P2).
Cho mặt phẳng (P1): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng (P2): 3x – 4y + 2 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1) và (P2).
Chọn điểm M
∈ (P1). Suy ra khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P2) là: 
.
Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng d(M, (P2)) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng 
.
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. – x2 + 2y + 3z + 4 = 0.
B. 2x – y2 + z + 5 = 0.
C. x + y – z2 + 6 = 0.
D. 3x – 4y – 5z + 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C, D không đồng thời bằng 0. Do đó trong các đáp án đã cho, ta thấy chỉ có phương trình ở đáp án D: 3x – 4y – 5z + 1 = 0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Mặt phẳng x + 2y – 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng x + 2y – 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: 
.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; – 4; 5) và nhận 
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; – 4; 5) và nhận 
làm vectơ pháp tuyến là:
2(x – 3) + 7(y + 4) – 1(z – 5) = 0 ⇔ 2x + 7y – z + 27 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(– 1; 2; 3) và nhận hai vectơ 
làm cặp vectơ chỉ phương.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:
– 3(x + 1) + 6(y – 2) – 3(z – 3) = 0 ⇔ x – 2y + z + 2 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
(P) đi qua điểm I(3; – 4; 1) và vuông góc với trục Ox;
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox nên (P) nhận vectơ 
làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
1(x – 3) + 0(y + 4) + 0(z – 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Ozx);
Ta có (Ozx): y = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là 
.
Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Ozx) nên (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
0(x + 2) + 1(y – 4) + 0(z + 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: (P) đi qua điểm K(– 2; 4; – 1) và song song với mặt phẳng (Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0.
(Q): 3x + 7y + 10z + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là 
.
Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
3(x + 2) + 7(y – 4) + 10(z + 1) = 0 ⇔ 3x + 7y + 10z – 12 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(0; 4; 0), C(2; 2; 0).
Ta có: 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:
– 2(x – 1) – 2(y – 1) – 4(z – 1) = 0 ⇔ x + y + 2z – 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
Phương trình mặt phẳng (P) là: 
.
Cho hai mặt phẳng (P1): 4x – y – z + 1 = 0,
(P2): 8x – 2y – 2z + 1 = 0.
Chứng minh rằng (P1) // (P2)
Ta có 
, 
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P1), (P2). Do 
, D1 ≠ 
D2 (vì D1 = 1, D2 = 1) nên (P1) // (P2).
Cho hai mặt phẳng (P1): 4x – y – z + 1 = 0,
(P2): 8x – 2y – 2z + 1 = 0.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2).
Chọn điểm M(0; 0; 1) ∈ (P1). Suy ra khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P2) là:
.
Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng d(M, (P2)) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng 
.
Cho hai mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0, (P2): x + y – z + 5 = 0. Chứng minh rằng (P1) ⊥ (P2).
Hai mặt phẳng (P1) và (P2) có vectơ pháp tuyến lần lượt là 
và 
.
Vì 
= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ (– 1) = 0 nên 
. Vậy (P1) ⊥ (P2).
Cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 1 = 0 và điểm M(1; 1; – 6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
d(M, (P)) = 
.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).
Tìm toạ độ điểm C.
Gọi tọa độ điểm C là C(x; y; z). Ta có 
, 
.
Vì OBCD là hình chữ nhật nên 
, tức là 
.
Vậy C(2; 3; 0).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).
Lập phương trình mặt phẳng (SBD).
Ta có: 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).
Vậy mặt phẳng (SBD) có phương trình là:
12(x – 0) + 8(y – 0) + 6(z – 4) = 0 ⇔ 6x + 4y + 3z – 12 = 0.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là:
d(C, (SBD)) = 
.
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.
Tìm tọa độ của điểm B.
Vì B ∈ (CBEF) nên ta có 2k = 3, suy ra k = 
(tm). Do đó, 4k = 6; 3k = 
.
Vậy 
.
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.
Lập phương trình mặt phẳng (AOBC)
Ta có 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC).
Vậy mặt phẳng (AOBC) có phương trình là:
0(x – 0) – 150(y – 0) + 225(z – 0) = 0 ⇔ 2y – 3z = 0.
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.
Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).
Ta có 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DOBE).
Vậy mặt phẳng (DOBE) có phương trình là:
60(x – 0) + 0(y – 0) – 120(z – 0) = 0 ⇔ x – 2z = 0.
Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(4k; 3k; 2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình là z = 3.
Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AOBC) là 
.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DOBE) là 
.
Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).
a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC).
Ta có 
.
Xét vectơ 
, tức là 
.
Khi đó, 
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Vậy mặt phẳng (ABC) có phương trình là:
– 1(x – 2) + 1(y – 1) – 4(z – 3) = 0 ⇔ x – y + 4z – 13 = 0.
Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2,5), D(4; 0; 2,8).
Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?
Thay tọa độ điểm D(4; 0; 2,8) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:
4 – 0 + 4 ∙ 2,8 – 13 = 2,2 ≠ 0.
Vậy D không thuộc mặt phẳng (ABC), tức là bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
