Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án

Xét hàm số Q(t) =  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ với t ∈ [0; 20].

Ta có Q'(t) =  $-\frac{3}{5}{t}^2+10t$;

Q'(t) = 0  $\iff -\frac{3}{5}{t}^2+10t=0\iff t=\frac{50}{3}$ hoặc t = 0.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra  $\underset{\left[0;20\right]}{\max }Q\left(t\right)=\frac{15200}{27}$ tại  $t=\frac{50}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là  $\frac{15200}{27}$ m³/phút tại thời điểm  $t=\frac{50}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m³/phút, tức là Q(t) ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2-450$≥ 0  $\iff \left[\begin{array}{l}t\le 5-5\sqrt{7}\\ 15\le t\le 5+5\sqrt{7}\end{array}\right.$.

Lại có t ∈ [0; 20] nên  $15\le t\le 5+5\sqrt{7}$.

Vậy tại thời điểm t ∈ [15; 5 +  $5\sqrt{7}$] phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.

Ta có y' = 2x – 2;

          y' = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vẽ đồ thị hàm số:

Hàm số y = x² – 2x – 3 là hàm số bậc hai nên đồ thị của nó là một parabol có:

+ Đỉnh I(1; – 4);

+ Giao với trục hoành tại các điểm A(3; 0) và B(– 1; 0);

+ Giao với trục tung tại điểm C(0; – 3).

Ta vẽ được đồ thị hàm số đã cho như sau:

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty$. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=1$. Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  $y^{\text{'}}=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}>0$, với mọi x ≠ – 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  $y=\frac{x-1}{x+1}$ được cho ở hình trên.

a) y = – x³ + 3x – 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực:  $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$.

y' = – 3x² + 3 = – 3(x² – 1);

y' = 0 ⇔ – 3(x² – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– 1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (1; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y_CĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1, y_CT = – 4.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 2).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình – x³ + 3x – 2 = 0 ⇔ – (x – 1)²(x + 2) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (– 2; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (0; – 2), (1; 0) và (– 1; – 4).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x – 2 được cho như hình trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(0; – 2).

b) y = x³ + 3x² + 3x + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực:  $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$.

y' = 3x² + 6x + 3 = 3(x + 1)²;

y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 khi x = – 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ + 3x² + 3x + 1 = 0 ta được x = – 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm (– 1; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), (0; 1), (– 2; – 1).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + 3x + 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(– 1; 0).

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=-\infty$. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-2,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-2$. Do đó, đường thẳng y = – 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  $y^{\text{'}}=\frac{10}{{\left(-x+2\right)}^2}>0$, với mọi x ≠ 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 3).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (– 3; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 3), (– 3; 0), (4; – 7) và (7; – 4).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  $y=\frac{2x+6}{-x+2}$ được cho ở hình trên.

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=-\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=+\infty$. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-1,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-1$. Do đó, đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(-x+2\right)}^2}<0$, với mọi x ≠ 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung:  $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$.

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (3; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm  $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$, (3; 0), (1; – 2) và  $\left(\frac{5}{2};1\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  $y=\frac{x-3}{-x+2}$ được cho ở hình trên.

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng:  $y=1-x-\frac{1}{x+1}$.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$.

 $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty$. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(1-x\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x+1}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(1-x\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{x+1}=0$. Do đó, đường thẳng y = 1 – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

 $y^{\text{'}}=\frac{-x^2-2x}{{\left(x+1\right)}^2}$;

y' = 0 ⇔ – x² – 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = – 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = – 2, y_CT = 4.  

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 2; 4),  $\left(-3;\frac{9}{2}\right),\left(-4;\frac{16}{3}\right)$ và  $\left(2;-\frac{4}{3}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  $y=\frac{-x^2}{x+1}$ được cho ở hình trên.

1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng:  $y=x+2-\frac{1}{x-1}$.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$.

 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=-\infty$. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0$. Do đó, đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

 $y^{\text{'}}=\frac{x^2-2x+2}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{{\left(x-1\right)}^2+1}{{\left(x-1\right)}^2}=1+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}>0$ với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.   

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 3).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm  $\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};0\right),\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 3),  $\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};0\right),\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};0\right)$ và (2; 3).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  $y=\frac{x^2+x-3}{x-1}$ được cho ở hình trên.