Giải SBT Toán 12 CD Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án

Đáp án đúng là: A

Do hệ số của x3 trong hàm số đã cho là a = 4 > 0 nên đồ thị hàm số có thể là phương án A hoặc C.

Mặt khác khi thay x = 1 vào hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 ta được y = −1 tức là đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1; −1).

Vậy phương án đúng là A.

Đáp án đúng là: D

Do hệ số của x3 trong hàm số là a = −1 < 0 nên đồ thị hàm số có thể là phương án B hoặc D.

Mặt khác y' = −3x2 – 1 < 0 với ∀x nên đồ thị hàm số không có điểm cực trị.

Vậy phương án đúng là D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = .

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có y' = > 0 với ∀x ∈ D.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) nên trên mỗi khoảng này đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải, do đó phương án đúng là D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: y =

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Đồ thị hàm số này có đường tiệm cận đứng x = −1 nên có thể là phương án B hoặc D.

Có hệ số của x2 ở tử là a = 1 và hệ số của x ở mẫu là m = 1 nên a, m cùng dấu.

Vậy phương án đúng là B.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình 16, ta có:

Hệ số a > 0 nên phương án có thể là B hoặc C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 0).

Khi thay x = −2 vào phương án B được y = (−2)3 – 3.(−2)2 – 4 = −24 ≠ 0 nên phương án B loại.

Vậy phương án đúng là C.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình 17, ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 nên ta loại phương án D.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1 nên ta loại phương án C.

Với x = 1 thì y = nên đồ thị hàm số y = đi qua điểm (1; 0), mà đồ thị hàm số trong Hình 17 không đi qua điểm (1; 0) nên ta loại phương án B.

Vậy phương án đúng là A.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình 18, ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng đi xuống từ trái qua phải nên hệ số a, m trái dấu, loại phương án A.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 0) nên ta loại phương án B.

Đồ thị hàm số ở phương án C có tiệm cận xiên là đường thẳng y = .

Đồ thị hàm số ở phương án D có tiệm cận xiên là đường thẳng y = −x + 1.

Nhận thấy đồ thị hàm số ở Hình 18 có đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm (0; 1) và (1; 0) nên phương án D thỏa mãn.

Vậy phương án đúng là D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = và a > 0.

Căn cứ vào đồ thị hàm số Hình 19, ta có:

Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận ngang y = > 0 tức là a, c cùng dấu nên c > 0.

Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng x = > 0 hay < 0 tức là d, c trái dấu nên d < 0.

Khi y = 0 ta được x = < 0 hay > 0 tức là b, a cùng dấu nên b > 0.

Vậy ta có b > 0, c > 0, d < 0.

Căn cứ vào hình dáng của đồ thị hàm số, ta có a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; d) nằm phía trên trục hoành nên điểm này có tung độ dương.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm ở hai phía trục tung.

Ta có: y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y' = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số có hai cực trị nên y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo Viet ta có: x1 + x2 = .

Ta thấy trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị x1, x2 nằm về phía bên phải trục tung nên tổng hai điểm cực trị x1, x2 dương hay > 0.

Mà a > 0 nên b < 0.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −n nằm bên trái trục tung nên

−n < 0 hay n > 0.

Tiệm cận xiên có hệ số góc là a có hướng đi lên từ trái sang phải nên a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; ) nằm về phía trên trục hoành nên c > 0.

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ âm nên phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm âm phân biệt nên < 0 hay b > 0.

Dựa vào đồ thị Hình 22, ta có: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 2.

Trên đoạn [−1; 2], hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x = 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng −2 tại x = 2, x = −1.

Điểm thỏa mãn là: (2; −2).

Điểm thỏa mãn là: (0; 2) và (3; 2).

Đường thẳng y = 1 cát đồ thị hàm số y = f(x) tại ba điểm.

Để −2 < f(x) < 2 thì x ∈ (−1; 3)\{0; 2}.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị là đường cong như Hình 22.

Căn cứ vào đồ thị hàm số:

Tìm công thức xác

Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Hàm số đi qua điểm (0; 2) nên d = 2.

Hàm số đi qua điểm (2; −2) nên 8a + 4b + 2c + 2 = −2 hay 4a + 2b + c = −2 (1).

Hàm số đi qua điểm (3; 2) nên 27a + 9b + 3c + 2 = 2 hay 9a + 3b + c = 0 (2).

Hàm số đi qua điểm (−1; −2) nên −a + b – c + 2 = −2 hay −a + b – c = −4 (3).

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:  ⇔ .

Vậy y = f(x) = x3 – 3x2 + 2.

định hàm số f(x).

Dựa vào đồ thị hàm số Hình 23, ta thấy:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−3; −2) và (−2; −1).

Điểm cực đại x = −3, điểm cực tiểu x = −1.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình x = −2.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số các điểm (−2; −1); (−1; 0) và (0; 1).

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = hx + k (h ≠ 0).

Ta có:  ⇔ .

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình: y = x + 1.

Số nghiệm của phương trình f(x) = 3 là số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = 3. Căn cứ vào đồ thị hàm số, phương trình f(x) = 3 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: y = f(x) =

Với m = 1, f(x) = .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 nên n = 2.

Lúc này, ta có: f(x) = .

Thực hiện phép chia đa thức lấy tử (ax2 + bx + c) chia cho mẫu (x + 2) ta được thương là ax + b – 2a chính là phương trình đường tiệm cận xiên.

⇒ ax + b – 2a = x + 1 ⇒  hay .

⇒ f(x) = .

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−3; −3) nên ta có: = −3 ⇒ c = 3.

Vậy y = f(x) = .

y = (x – 2)(x + 1)2

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực: y = +∞, y = −∞.

Ta có: y' = 3x2 – 3.

           y' = 0 khi x = ±1.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −4; hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 0.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; −2).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 0); (0; −2); (1; −4); (2; 0); (−2; −4).

Ta có đồ thị:

y = x3 – x2 + 2

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực:y = −∞, y = +∞.

Ta có: y' = −x2 – 2x.

           y' = 0 khi x = 0 hoặc x = −2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2, yCT = ; hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2.

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 2).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm ; (0; 2); ; (−3; 2); .

Ta có đồ thị hàm số:

y = 2x3 – 3x2 + 2x – 1

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực: y = +∞, y = −∞.

Ta có: y' = 6x2 – 6x + 2.

           y' = 6(x2 – x + ) = 6(x − )2 + > 0 với mọi x.

Hàm số đồng biến trên ℝ.

Ta có bảng biến thiên như sau:

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; −1).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (−1; −8); (0; −1); (1; 0); ; (2; 7).

Ta có đồ thị như sau:

y = (x3 – 6x2 + 12x)

hay y = x3 + x2 – 3x.

1) Tập xác định: D = ℝ.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực: y = −∞, y = +∞.

Ta có: y' = x2 + 3x – 3 = 3(−x2 + x − 1);

           y' = 0 ⇔ −x2 + x − 1 = 0

                     ⇔ −x2 + 4x − 4 = 0

                     ⇔ −(x – 2)2 = 0

                     ⇔ x = 2 (nghiệm kép).

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: ; (0; 0); ; (2; −2); ; (4; −4).

Ta có đồ thị của hàm số như sau:

y =

1) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: y = 2, y = 2.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

           y = +∞, y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = > 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng, y = 2 là tiệm cận ngang.

Giao của đồ thị với trục tung tại điểm (0; −1), giao của đồ thị với trục hoành tại điểm .

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (−4; 3); (−2; 5); (2; 1); ; (0; −1).

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−1; 2) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

y =

1) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: y = 1, y = 1.

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

           y = −∞, y = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = < 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và y = 1 làm tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (0; 0); ; (1; – 1) (3; 3); (4; 2).

Ta có đồ thị hàm số như sau:

Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (2; 1) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

y =

1) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: y = −∞, y = +∞.

           y = +∞, y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

= = = −1.

[y – (−x)] = = = 1.

Do đó, đường thẳng y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' =

           y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2; hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = −2.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng và y = −x + 1 làm tiệm cận xiên.

Giao của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2).

Hàm số đi qua các điểm: ; ; (0; 2); (2; −2); .

Ta có đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (1; 0) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

y =

1) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: y = +∞, y = −∞.

           y = +∞, y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

= = = 1.

(y – x) = = = 0.

Do đó, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = = > 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = − 2 làm tiệm cận đứng và y = x làm tiệm cận xiên.

Giao của đồ thị với trục tung tại điểm ; giao của đồ thị với trục hoành tại các điểm (1; 0); (−3; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: ; (1; 0); (−3; 0); (−1; −4); (−5; −4);

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−2; −2) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn [−4; 0] là:

                 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).

                 y' = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số đi qua các điểm (−4; 1), (0; 0).

Đi qua điểm (0; 0) nên d = 0.

Đi qua điểm (−4; 1) nên −64a + 16b – 4c = 1 (1).

Theo đề: (−4; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và (0; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên: y'(−4) = 0 và y'(0) = 0.

⇒ 48a − 8b + c = 0 (2) và c = 0 (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra ⇔ .

Vậy y = x3 + x2.

Thay x = −3 vào y = x3 + x2 ta được y = .

Vậy khi máy bay bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất = 0,84375 (dặm).

Thay y = 0,5 ta được phương trình:

x3 + x2 = 0,5 có nghiệm x = −2, x = −2 ± .

Do x ∈ [−4; 0] nên x = −2 thỏa mãn.

Vậy khi ở độ cao 0,5 dặm, máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 2 dặm.