Giải SGK Toán 11 CTST Bài tập cuối chương II có đáp án

Đáp án đúng là: B

Dãy số (u­_n) có ba số hạng đầu tiên là:

 $u_1=\frac{1}{3^1-1}=\frac{1}{2}$;

 $u_2=\frac{2}{3^2-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$;

 $u_3=\frac{3}{3^3-1}=\frac{3}{26}$

Đáp án đúng là: C

Dãy số   $\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\frac{1}{3^3};\frac{1}{3^4};\frac{1}{3^5};\mathrm{...}$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là  $\frac{1}{3}$ và công bội  $q=\frac{1}{3}$, có số hạng tổng quát là:  $u_n=\frac{1}{3}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Đáp án đúng là: A

+) Ta có:  $u_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1+2}=\frac{n+2}{n+3}$

Xét hiệu  $u_{n+1}-u_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n^2+4n+4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}-\frac{n^2+4n+3}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$.

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0, suy ra  $\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0$.

Do đó u_n+1 > u_n hay (u_n) là dãy tăng.

+) Ta có:  $u_n=1-\frac{1}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n + 2 ≥ 3

 $\Rightarrow u_n=1-\frac{1}{n+2}\ge 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ta lại có n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra  $\frac{1}{n+2}>0$. Do đó  $u_n=1-\frac{1}{n+2}<1$.

Vì vậy  $\frac{2}{3}\le u_n<1$ nên dãy số (u_n) bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁, công sai d có số hạng tổng quát là:

u_n = u₁ + (n – 1)d, với n ≥ 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₂ = u₁ + d = – 1

⇔ d = – 1 – u₁ = – 1 – 3 = – 4.

Khi đó u₃ = u₁ + 2d = 3 + 2(– 4) = – 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅ = u₁ + 4d = – 1 + 4.3 = 11.

Tổng năm số hạng đầu của cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁ = – 1 và công sai d = 3 là:  $S_5=\frac{5\left(-1+11\right)}{2}=25$.

Đáp án đúng là: B

Để 2x – 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì:

x² = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ x² = 4x² – 1

⇔ 3x² = 1

⇔  $\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

Vì vậy có hai số thực số x thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án đúng là: D

Giả sử tam giác có số đo các góc theo thứ tự tăng dần lần lượt: x; y; z (rad).

Vì x; y; z lập thành cấp số nhân có công bội q = 2 nên ta có:

y = x.2 = 2x, z = 2².x = 4x.

Mặt khác ta có: x + y + z = π

⇔ x + 2x + 4x = π

⇔ 7x = π

⇔ x =  $\frac{\pi }{7}$.

⇒ y =  $\frac{2\pi }{7}$ và z =  $\frac{4\pi }{7}$.

+) Ta có:  $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}$

Xét  $u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{2^{n+1}}-\frac{{2.3}^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra  $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vì vậy dãy số tăng.

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó 3ⁿ – 1 ≥ 2 > 0 và 2ⁿ > 0 nên  $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}>0$.

Do đó dãy số bị chặn dưới.

Ta có:  $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1, suy ra n + 2 ≥ 3

 $\Rightarrow u_n=2-\frac{3}{n+2}\ge 1$

+) Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra  $\frac{3}{n+2}>0$ 

 $\Rightarrow -\frac{3}{n+2}<0$

 $\Rightarrow 2-\frac{3}{n+2}<2$

Do đó ta có:  $1\le u_n<2$ hay dãy số (u_n) bị chặn.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = – 3.

b)  $\left\{\begin{array}{l}{u}_7+u_{15}=60\\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+6d+u_1+14d=60\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+20d=60\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+30\\ {\left(u_1+3d\right)}^2+{\left(u_1+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+30\\ {\left(-10d+30+3d\right)}^2+{\left(-10d+30+11d\right)}^2=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ {\left(-7d+30\right)}^2+{\left(d+30\right)}^2=1170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ 49d^2-420d+900+d^2+60d+900=1170\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ 50d^2-360d+630=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-10d+60\\ \left[\begin{array}{l}d=3\\ d=\frac{21}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1=30\\ d=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{u}_1=18\\ d=\frac{21}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 30 và công sai d = 3 hoặc số hạng đầu u₁ = 18 và công sai d =  $\frac{21}{5}$.

Gọi số cá thể ở thời điểm ban đầu của một quần thể động vật là u₁ = 110 000 (cá thể).

Sau 1 năm số cá thể của quần thể là: u₁ + 12%u₁ – 2%u₁ – 8%u₁ = u₁ + 2%u₁ (cá thể).

Sau 2 năm số cá thể của quần thể là: u₁ + 2%u₁ + 2%(u₁ + 2%u₁) = (1 + 2%).(u₁ + 2%u₁) = (1 + 2%)².u₁ = (1 + 2%)².110 000 = 114 444(cá thể).

Ta có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân (u_n).

Đặt tần số âm thanh của phím La Trung là số hạng đầu u₁ = 400.

Phím La Cao cao hơn 12 phím so với phím La Trung nên phím này ở u₁₃ = 800.

Ta lại có: u₁₃ = u₁.q¹² = 400q¹² = 800 ⇔ q =  $\sqrt[12]{2}\approx 1,059$.

Vậy công bội của cấp số nhân trên là 1,059.

Dân số Việt Nam qua mỗi năm lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 97,6 (triệu người), công bội q = 1 + 1,14% = 1,0114. Suy ra công thức số hạng tổng quát là: u_n = 97,6.(1,0114)^n-1­.

Từ năm 2020 đến năm 2040 có 21 năm nghĩa là dân số của Việt Nam năm 2040 là u₂₂ =97,6.(1,0114)²¹ = 123,832 (triệu người).