Ta có \(q = \frac{{12}}{3} = 4\).

Số hạng tiếp theo của cấp số nhân là: 12.4 = 48.

Theo đề ta có b2 = 1 Û b = 1 vì b > 0.

Ta có u2020 = u1.22019 = 2.22019 = 22020.

Cấp số nhân có u1 = 5 và q = 2.

Suy ra 1280 = un = u1.2n – 1 Û5.2n – 1 = 1280 Û n – 1 = 8 Û n = 9.

Trữ lượng gỗ của khu rừng mỗi năm lập thành một cấp số nhân với u1 = 4.105 và q = 1,04.

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là: u6 = u1.q5 = 4.105.(1,04)5.

a) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)\[ = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\]\[ = \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\].

b) Theo câu a, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.

c) Dãy (un) là dãy số tăng.

d) Có \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}*\) mà un > 0, \(\forall n \in \mathbb{N}*\) nên (un) dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng;  b) Sai;  c) Sai;  d) Đúng.

a) Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right).\frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\).

b) Có \({u_8} = 1 + \frac{8}{2} = 5.\)

c) Có \(1 + \frac{n}{2} = \frac{{15}}{4}\)\( \Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2}\) loại vì n ∈ ℕ*.

d) Có \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.\frac{3}{2} + 99.\frac{1}{2}} \right) = 2625.\)

Đáp án: a) Sai;  b) Đúng;  c) Sai;  d) Sai.

a) b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2}{q^2} - {u_2} = 54\\{u_2}{q^3} - {u_2}q = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\\{u_2}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\\54q = 108\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 18\\q = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\)

c) \({S_9} = {u_1}.\frac{{1 - {q^9}}}{{1 - q}} = 9.\frac{{1 - {2^9}}}{{1 - 2}} = 4599\).

d) Ta có 576 = un = 9.2n – 1 Û 2n – 1 = 64 Û n = 7.

Suy ra 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Đáp án: a) Đúng;  b) Sai;  c) Đúng;  d) Sai.

Số tiền đầu tư mỗi lần được tính theo cấp số nhân với u1 = 20000 và q = 2.

a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là u2 = 20000.2 = 40000 đồng.

b) Số tiền anh lỗ ở lần thứ 9 là u9 = u1.q8 = 20000.28 = 5120000 đồng.

c) Số tiền đã lỗ trong 5 lần đầu là:

\({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 620000\).

d) Vì anh An lỗ hết cả 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền lỗ là:

\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000\).

Số tiền anh lời trong lần thứ 10 là: u10 = u1.q9 = 10240000.

Ta có u10 – S9 = 20000 > 0 nên anh An lời 20000.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;  d) Sai.

a) Ta có \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = \frac{{50}}{2}\left( {2.5 + 49d} \right) = 5150 \Rightarrow d = 4\).

b) Có un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1). 4 = 1 + 4n.

Do đó u85 = 1 + 4.85 = 341.

c) u10 = 1 + 4.10 = 41.

d) \({S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}\left( {2.5 + 84.4} \right) = 14705\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;  d) Đúng.

Gọi un là số ghế ở dãy thứ n, suy ra (un) là một cấp số cộng với d = 4, u10 = 45.

Ta có u10 = u1 + 9d Û u1 = u10 – 9d = 45 – 9.4 = 9.

Vậy số ghế trong hội trường là \(S = \frac{{10}}{2}\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right) = 5\left( {9 + 45} \right) = 270.\)

Trả lời: 270.

Theo bài ra u1; u2; ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu, lập thành cấp số nhân với u1 = 1024, công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên \({u_8} = {u_1}.{q^7} = 1024.\frac{1}{{{2^7}}} = 8\) cm.

Trả lời: 8.

Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1,\,n \in \mathbb{N}} \right)\).

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).

Theo giả thiết:

\({S_n} = 3240\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 3240\)\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6480\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 6480 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 80\\n =  - 81\end{array} \right.\)

So với điều kiện, suy ra: \(n = 80\).

Vậy có tất cả \(80\)hàng cây.

Trả lời: 80.

Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 4\).

Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp \(10\) tầng là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 39\).

Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp \(10\) tầng là \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{10\left( {3 + 39} \right)}}{2} = 210\).

Trả lời: 210.

Cấp số nhân \(2;\,8;x;128\) theo thứ tự đó sẽ là \({u_1};\,{u_2};\,{u_3};\,{u_4}\), ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x =  - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32\).

Trả lời: 32.