Giải SGK Toán 11 CTST Bài ôn tập cuối chương I có đáp án

Mỗi vòng kim đồng hồ quay là: 2π nên góc lượng giác quét được khi quay  $3\frac{1}{5}$ vòng là  $3\frac{1}{5}.2\pi =3.2\pi +\frac{2\pi }{5}$ rad.

Khi đó điểm biểu diễn cho các góc lượng giác này có công thức số đo tổng quát là  $\frac{2\pi }{5}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Xét  $\frac{16\pi }{5}=\frac{2\pi }{5}+k2\pi \iff k=\frac{7}{5}\notin \mathbb{Z}$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Xét  ${\left(\frac{16}{5}\right)}^o=\frac{\pi .\frac{16}{5}}{180}=\frac{4\pi }{225}=\frac{2\pi }{5}+k2\pi \iff k=-\frac{43}{225}\notin \mathbb{Z}$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Xét  $1152°=\frac{\pi .1152}{180}=\frac{32\pi }{5}=\frac{2\pi }{5}+k2\pi \iff k=3\in \mathbb{Z}$. Do đó góc này tương ứng với góc đã cho.

Xét  $1152\pi =\frac{2\pi }{5}+k2\pi \iff k=\frac{2879}{5}\notin \mathbb{Z}$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Đáp án đúng là: A

+) Xét β = – α, khi đó:

cosβ = cos(– α) = cosα;

 sinβ = sin(– α) = sinα hay sinα = – sinβ .

Do đó A thỏa mãn.

+) Xét β = π – α, khi đó:

cosβ = cos(π – α) = – cosα;

sinβ = sin(π – α) = sinα.

Do đó B không thỏa mãn.

+) Xét β = π + α, khi đó:

cosβ = cos(π + α) = – cosα;

sinβ = sin(π + α) = – sinα.

Do đó C không thỏa mãn.

+) Xét  , khi đó:

cosβ = cos() = – sinα;

sinβ = sin() = cosα.

• Do đó D không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là ℝ.

Nếu với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và y(– x) = cos(– x) = cosx = y(x).

Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

 $\text{cos}2x=\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

 $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+) Với  $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1 và bằng:  $\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$.

+) Với  $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0 và bằng:  $-\frac{\pi }{9}+0.\frac{2\pi }{9}=-\frac{\pi }{9}$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là  $-\frac{\pi }{9}$.

Xét phương trình tanx = 3

⇔ x ≈ 1,25 + kπ, k ∈ ℤ

Xét:  $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{7\pi }{3}\iff -\frac{\pi }{2}<1,25+k\pi <\frac{7\pi }{3}\iff -0,9<k<1,94$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 nghiệm của phương trình đã cho nằm trong khoảng  $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{3}\right)$.

Vì  $-1\le sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 1$ nên $29+3.\left(-1\right)\le 29+3sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 29+3.1$

 $\iff 26\le 29+3sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\le 32$

 $\iff 26\le h\left(t\right)\le 32$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C khi  $29+3sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=26\iff sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=-1$

 $\iff sin\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)$

 $\iff \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff t=3+24k,k\in \mathbb{Z}$

Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là 26°C.

Tốc độ góc của quạt trần là:  $\frac{45.2\pi }{60}=\frac{3\pi }{2}$(rad/s).

Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo là:  $\frac{3\pi }{2}.3=\frac{9\pi }{2}$rad.

a) sinα =  $-\sqrt{1-{\text{cos}}^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (vì  $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$)

b) sin2α = 2sinα.cosα =  $2.\frac{1}{3}\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

c)  $\text{cos}\left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\alpha .\text{cos}\frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}-\left(\frac{-2\sqrt{2}}{3}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$.

a) sin(α + β)sin(α – β) = sin²α – sin²β

Ta có: sin(α + β)sin(α – β) =  $\frac{1}{2}\left[\text{cos}\left(\alpha +\beta -\alpha +\beta \right)-\text{cos}\left(\alpha +\beta +\alpha -\beta \right)\right]$

 $={\sin }^2\alpha -{\text{sin}}^2\beta$.

b) Ta có: cos⁴α – cos^{4 $\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$} = cos⁴α – sin⁴α = (cos²α – sin²α)(cos²α + sin²α)

= cos²α – sin²α = cos2α.

Xét phương trình  $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sin 2x=0$

Với họ nghiệm  $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ có nghiệm dương bé nhất là  $x=\frac{\pi }{6}$ khi k = 0.

Với họ nghiệm  $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ có nghiệm dương bé nhất là  $x=\frac{5\pi }{18}$ khi k = 0.

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là  $x=\frac{\pi }{6}$.

a) sin2x + cos3x = 0

⇔ sin2x = sin $\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

⇔  $\left[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

⇔  $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là  $S=\left\{\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5};-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) sinxcosx =  $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{\frac{\pi }{8}+k\pi ;\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) sinx + sin2x = 0.

⇔ sinx = – sin2x

⇔ sinx = sin(– 2x)

⇔  $\left[\begin{array}{l}x=-2x+k2\pi \\ x=\pi +2x+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

⇔  $\left[\begin{array}{l}x=k\frac{2\pi }{3}\\ x=-\pi +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{k\frac{2\pi }{3};-\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: h(2) = 0,8cos0,5.2 + 4 ≈ 4,43 m.

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình 0,8cos0,5t + 4 = 3,6

⇔ 0,8cos0,5t = – 0,4

⇔ cos0,5t = – 0,5

⇔ cos0,5t =  $\text{cos}\frac{2\pi }{3}$

⇔ 0,5t =  $\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

⇔ t =  $\pm \frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+) Với  $t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

Mà  $k\in \mathbb{Z}$ nên  $k\in \left\{0;1\right\}$.

+) Với  $t=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên k=1.

Vậy tại các thời điểm  $t=\frac{4\pi }{3},t=\frac{10\pi }{3},t=\frac{2\pi }{3}$giờ thì tàu có thể hạ thủy.

a) Vì  $-1\le \sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên  $-3\le -3\sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)\le 3$

Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi  $\sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)=-1$

Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm  $t_1=\frac{7\pi }{9};t_2=\frac{19\pi }{9};t_3=\frac{31\pi }{9};\mathrm{...}$

a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:

b) Đồ thị của hàm số  ${\theta }_s=5\tan \left(\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số  để ${\theta }_s=5\tan \left(\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)\right)<-4$ và 6 < t < 18 suy ra các thời điểm để bóng cây phủ qua hàng rào N là 6 < t< 9,4.