22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập ôn tập chương 1 (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Chọn góc lượng giác (OM, ON) có số đo bằng \(\frac{\pi }{7}\). Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác (OM, ON)?
\(\frac{{6\pi }}{7}\).
\(\frac{{ - 11\pi }}{7}\).
\(\frac{{9\pi }}{7}\).
\(\frac{{29\pi }}{7}\).
D
Ta có (OM, ON) \( = \frac{\pi }{7} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Với k = 2 \( \Rightarrow \left( {OM,ON} \right) = \frac{{29\pi }}{7}\).
\(\sin \left( {\pi - a} \right) = \frac{1}{2}\).
\(\sin \left( {\pi - a} \right) = - \frac{1}{2}\).
\(\sin \left( {\pi - a} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\sin \left( {\pi - a} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
B
\(\sin \left( {\pi - a} \right) = \sin a = - \frac{1}{2}\).
\(T = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
T = sinx.
\(T = \sqrt 3 \cos x\).
T = sin2x.
B
\(T = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \( = 2\cos \frac{\pi }{3}\sin x\)\( = \sin x\).
\(\cos a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\cos a = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\cos a = \frac{1}{2}\).
\(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
D
Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 1 + {\tan ^2}a = 1 + 4 = 5 \Rightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}\).
Mà \(0 < a < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
B
Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
sin2a.
cos2a.
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
D
\(\sin \left( {a - 19^\circ } \right).\cos \left( {a + 11^\circ } \right) - \sin \left( {a + 11^\circ } \right)\cos \left( {a - 19^\circ } \right)\)
\( = \sin \left[ {\left( {a - 19^\circ } \right) - \left( {a + 11^\circ } \right)} \right]\)\( = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2}\).
(0; π).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
(π; 2π).
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \pi } \right)\).
C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (π; 2π).
Số đo theo đơn vị rađian của góc 315° là
\(\frac{{2\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{2}\).
\(\frac{{4\pi }}{7}\).
\(\frac{{7\pi }}{4}\).
D
\(315^\circ = \frac{{315\pi }}{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}rad\).
\(T = \left[ { - 3;1} \right]\).
T = [−1; 1].
T = [1; 3].
T = [−2023; 2023].
A
Ta có −1 £ cos2024x £ 1 Þ −2 £ 2cos2024x £ 2 Þ −3 £ 2cos2024x −1 £ 1.
Do đó tập giá trị của hàm số T = [−3; 1].
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
B
\(\sin \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}\) ta được
A = sin3a.
A = cos3a.
A = 1 – tan3a.
A = tan3a.
D
\(A = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}\)\( = \frac{{\left( {\sin a + \sin 5a} \right) + \sin 3a}}{{\left( {\cos a + \cos 5a} \right) + \cos 3a}}\)\( = \frac{{2\sin 3a\cos 2a + \sin 3a}}{{2\cos 3a\cos 2a + \cos 3a}}\)
\( = \frac{{\sin 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}{{\cos 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}\)\( = \tan 3a\).
\(x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
A
Điều kiện \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho cosx = −0,3 và \( - 3\pi < x < - \frac{{5\pi }}{2}\).
a) sinx < 0.
b) cotx < 0.
c) \(\tan x = \frac{{91}}{9}\).
d) \({\cot ^2}x = \frac{9}{{91}}\).
a)Vì \( - 3\pi < x < - \frac{{5\pi }}{2}\) nên sinx < 0.
b) Vì cosx < 0 và sinx < 0 nên cotx > 0.
c) Có \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( { - 0,3} \right)^2} = \frac{{91}}{{100}}\) mà sinx < 0 nên \(\sin x = - \frac{{\sqrt {91} }}{{10}}\).
Suy ra \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{ - \sqrt {91} }}{{10}}: - 0,3 = \frac{{\sqrt {91} }}{3}\).
d) Vì tanx.cotx = 1 \( \Rightarrow \cot x = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{3}{{\sqrt {91} }}\). Do đó \({\cot ^2}x = \frac{9}{{91}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ
![Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên đoạn [−3π; 3π]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/11-1749895963.png)
a) Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên đoạn [−3π; 3π].
b) Trên đoạn [−3π; 3π] phương trình \(\cos x = \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.
c) \(f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = 1\).
d) Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
a) Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên đoạn [−3π; 3π].
b) Số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{3}\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = cosx và \(y = \frac{1}{3}\).
Dựa vào đồ thị ta thấy có 6 giao điểm. Do đó phương trình \(\cos x = \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.
c) Dựa vào đồ thị có \(f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = 0\).
d) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
a) \(1 - 2{\sin ^2}\alpha = - \frac{1}{9}\).
b) \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
c) \(\sin 2\alpha = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).
d) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\).
a) \(1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\).
b) Ta có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0 \( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
c) sin2α = 2sinαcosα \( = 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).
d) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số y = tan2x – 1.
a) Tập xác định của hàm số trên là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Hàm số trên là hàm số chẵn.
c) Tập giá trị của hàm số trên là [0; +∞).
d) Chỉ có duy nhất một giá trị x Î [0; π] sao cho y = 0.
a)Điều kiện cosx ≠ 0 \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\).
Tập xác định của hàm số trên là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Có f(−x) = tan2(−x) – 1 = tan2x – 1 = f(x).
Do đó hàm số là hàm số chẵn.
c) Vì tan2x ³ 0, ∀x Î D Þ y = tan2x – 1 ³ −1, ∀x Î D.
Do đó tập giá trị của hàm số trên là [−1; +∞).
d) Có y = 0 Û tan2x – 1 = 0 Û tanx = ±1.
Với tanx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà x Î [0; π] nên \(0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow k = 0\) vì k Î ℤ.
Với tanx = −1 \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà x Î [0; π] nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Rightarrow k = 1\) vì k Î ℤ.
Do đó có 2 giá trị x Î [0; π] sao cho y = 0.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{3}{2} + 3\cos x\) và g(x) = sinx + cosx.
a) Hàm số g(x) là hàm số lẻ.
b) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = π + k2π (k ∈ ℤ).
c) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\frac{9}{2}\).
d) Có 4 giá trị của x thuộc đoạn [0; 2π] sao cho f(x) = 3g(x).
a) Ta có g(−x) = sin(−x) + cos(−x) = −sinx + cosx ≠ −g(x).
Do đó hàm số g(x) không là hàm số lẻ.
b) Ta có −1 £ cosx £ 1 Þ −3 £ 3cosx £ 3 \( \Rightarrow - \frac{3}{2} \le \frac{3}{2} + 3\cos x \le \frac{9}{2}\).
Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx = −1 Û x = π + k2π, k Î ℤ.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\frac{9}{2}\).
d) f(x) = 3g(x) \( \Leftrightarrow \frac{3}{2} + 3\cos x = 3\sin x + 3\cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{3}{2} = 3\sin x\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vì x Î [0; 2π] nên
+) \(0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k = 0 \( \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).
+) \(0 \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi \)\( - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k = 0 \( \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\).
Có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Nếu tanα = 2 thì giá trị \(25{\cos ^2}\alpha + \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng bao nhiêu?
Có \(25{\cos ^2}\alpha + \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = 25.\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} + \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}}\)
\( = 25.\frac{1}{{1 + 4}} + \frac{{2 + 1}}{{1 - 2}} = 5 - 3 = 2\).
Trả lời: 2.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x\) là \(\frac{\pi }{a}\) với a là số nguyên dương. Giá trị của a bằng bao nhiêu?
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Với k = 0, phương trình có hai nghiệm dương \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}}\).
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6}\). Do đó a = 6.
Trả lời: 6.
Mực nước của một dòng sông lên xuống theo thủy chiều trong ngày. Độ sâu h (m) của mực nước trên sông tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 £ t < 24) cho bởi công thức \(h = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 11\). Có bao nhiêu thời điểm trong ngày thì độ sâu của mực nước là 12 m.
Để độ sâu của mực nước là 12 m thì
\(h = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 11 = 12\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 12k\\t = 5 + 12k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Do 0 £ t < 24 nên
+) 0 ≤ \(1 + 12k\)< 24 Û \( - \frac{1}{{12}} \le k < \frac{{23}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.
Với k = 0 thì t = 1 giờ; k = 1 thì t = 13 giờ.
+) 0 £ 5 + 12k < 24 Û \( - \frac{5}{{12}} \le k < \frac{{19}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.
Với k = 0 thì t = 5 giờ; k = 1 thì t = 17 giờ.
Vậy có 4 thời điểm.
Giả sử số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí của một tháng trong ngày thứ t tại thành phố công nghiệp X được cho bởi hàm số \(P\left( t \right) = a + b\sin \frac{{\pi t}}{{10}}\) (a, b > 0, t Î ℤ, 0 < t £ 30). Biết chất ô nhiễm trong một mét khối không khí cao nhất là 50 miligam và thấp nhất là 20 miligam. Hỏi ngày thứ hai thì số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí tại thành phố công nghiệp X là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Có \( - 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le 1\) \( \Rightarrow - b \le b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le b\)\( \Rightarrow a - b \le a + b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le a + b\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 50\\a - b = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 15\end{array} \right.\).
Do đó \(P\left( t \right) = 35 + 15\sin \frac{{\pi t}}{{10}}\).
Khi đó \(P\left( 2 \right) = 35 + 15\sin \frac{{2\pi }}{{10}} \approx 43,8\).
Trả lời: 43,8.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với t Î ℤ và 0 < t £ 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?
Theo đề ta có \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 15\)\( \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 171 + k364\), k Î ℤ.
Vì 0 < t < 365 nên k = 0 suy ra t = 171.
Trả lời: 171.
