\(315^\circ  = \frac{{315\pi }}{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}rad\).

Ta có −1 £ cos2024x £ 1 Þ −2 £ 2cos2024x £ 2  Þ −3 £ 2cos2024x −1 £ 1.

Do đó tập giá trị của hàm số T = [−3; 1].

\(\sin \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \pi  + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(A = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}\)\( = \frac{{\left( {\sin a + \sin 5a} \right) + \sin 3a}}{{\left( {\cos a + \cos 5a} \right) + \cos 3a}}\)\( = \frac{{2\sin 3a\cos 2a + \sin 3a}}{{2\cos 3a\cos 2a + \cos 3a}}\)

\( = \frac{{\sin 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}{{\cos 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}\)\( = \tan 3a\).

Điều kiện \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\tan \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện).

a) Vì \( - 3\pi  < x <  - \frac{{5\pi }}{2}\) nên sinx < 0.

b) Vì cosx < 0 và sinx < 0 nên cotx > 0.

c) Có \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( { - 0,3} \right)^2} = \frac{{91}}{{100}}\) mà sinx < 0 nên \(\sin x =  - \frac{{\sqrt {91} }}{{10}}\).

Suy ra \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{ - \sqrt {91} }}{{10}}: - 0,3 = \frac{{\sqrt {91} }}{3}\).

d) Vì tanx.cotx = 1 \( \Rightarrow \cot x = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{3}{{\sqrt {91} }}\). Do đó \({\cot ^2}x = \frac{9}{{91}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên đoạn [−3π; 3π].

b) Số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{3}\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = cosx và \(y = \frac{1}{3}\).

Dựa vào đồ thị ta thấy có 6 giao điểm. Do đó phương trình \(\cos x = \frac{1}{3}\) có 6 nghiệm phân biệt.

c) Dựa vào đồ thị có \(f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = 0\).

d) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) \(1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\).

b) Ta có \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên cosα < 0 \( \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

c) sin2α = 2sinαcosα \( = 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\).

d) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 5  - 2\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Điều kiện cosx ≠ 0 \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\).

Tập xác định của hàm số trên là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Có f(−x) = tan2(−x) – 1 = tan2x – 1 = f(x).

Do đó hàm số là hàm số chẵn.

c) Vì tan2x ³ 0, ∀x Î D Þ y = tan2x – 1 ³ −1, ∀x Î D.

Do đó tập giá trị của hàm số trên là [−1; +∞).

d) Có y = 0 Û tan2x – 1 = 0 Û tanx = ±1.

Với tanx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà x Î [0; π] nên \(0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \pi \)\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow k = 0\) vì k Î ℤ.

Với tanx = −1 \( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà x Î [0; π] nên \(0 \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Rightarrow k = 1\) vì k Î ℤ.

Do đó có 2 giá trị x Î [0; π] sao cho y = 0.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Ta có g(−x) = sin(−x) + cos(−x) = −sinx + cosx ≠ −g(x).

Do đó hàm số g(x) không là hàm số lẻ.

b) Ta có −1 £ cosx £ 1 Þ −3 £ 3cosx £ 3 \( \Rightarrow  - \frac{3}{2} \le \frac{3}{2} + 3\cos x \le \frac{9}{2}\).

Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx = −1 Û x = π + k2π, k Î ℤ.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\frac{9}{2}\).

d) f(x) = 3g(x) \( \Leftrightarrow \frac{3}{2} + 3\cos x = 3\sin x + 3\cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{3}{2} = 3\sin x\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì x Î [0; 2π] nên

+) \(0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k = 0 \( \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).

+) \(0 \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le 2\pi \)\( - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k = 0 \( \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

Có \(25{\cos ^2}\alpha  + \tan \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = 25.\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} + \frac{{\tan \alpha  + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}}\)

\( = 25.\frac{1}{{1 + 4}} + \frac{{2 + 1}}{{1 - 2}} = 5 - 3 = 2\).

Trả lời: 2.

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi  - 2x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Với k = 0, phương trình có hai nghiệm dương \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}}\).

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6}\). Do đó a = 6.

Trả lời: 6.

Để độ sâu của mực nước là 12 m thì

\(h = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 11 = 12\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 12k\\t = 5 + 12k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Do 0 £ t < 24 nên

+) 0 ≤ \(1 + 12k\)< 24 Û \( - \frac{1}{{12}} \le k < \frac{{23}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.

Với k = 0 thì t = 1 giờ; k = 1 thì t = 13 giờ.

+) 0 £ 5 + 12k < 24 Û \( - \frac{5}{{12}} \le k < \frac{{19}}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.

Với k = 0 thì t = 5 giờ; k = 1 thì t = 17 giờ.

Vậy có 4 thời điểm.

Có \( - 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le 1\) \( \Rightarrow  - b \le b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le b\)\( \Rightarrow a - b \le a + b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le a + b\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 50\\a - b = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 15\end{array} \right.\).

Do đó \(P\left( t \right) = 35 + 15\sin \frac{{\pi t}}{{10}}\).

Khi đó \(P\left( 2 \right) = 35 + 15\sin \frac{{2\pi }}{{10}} \approx 43,8\).

Trả lời: 43,8.

Theo đề ta có \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 15\)\( \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 171 + k364\), k Î ℤ.

Vì 0 < t < 365 nên k = 0 suy ra t = 171.

Trả lời: 171.