Giải SGK Toán 11 CTST Bài 5: Phương trình lượng giác có đáp án

Để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm thì s = 10

⇔ 17cos5πt = 10

Ta cần giải phương trình cos5πt = $\frac{10}{17}$

Bài học này sẽ giúp chúng ta giải quyết phương trình trên.

a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₁ = {1}.

b) x² – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₂ = { – 1; 1}.

c) $\sqrt{2x^2-1}=x$

 $\Rightarrow 2x^2-1=x^2$

 $\Rightarrow x^2=1$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₃ = {1}.

Ta có nhận xét:

S₁ = S₃ ⊂ S₂.

Lỗi sai: Phương trình x² = 2x và phương trình  $\frac{x^2}{x}=2$ không tương đương vì:

Phương trình x² = 2x có tập nghiệm S₁ = {0; 2}.

Phương trình  $\frac{x^2}{x}=2$ có tập nghiệm S₂ = {2}.

a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5.

b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm  M và N.

Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là  $\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là  $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a)  $\mathrm{s}\text{inx}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vì  $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình  $\mathrm{s}\text{inx}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$có các nghiệm là:

 $\text{x}=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và  $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:  $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)

⇔ x + 30° = x + 60° + k360° hoặc x + 30° = 360° – x – 60° + k360° (k ∈ ℤ)

⇔ 30° = 60° + k360° (vô lí) hoặc x = 150° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {150° + k180°, k ∈ ℤ}.

Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có  $\text{cos}x=-\frac{1}{2}$.

Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là:  $\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là:  $-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a) Vì – 3 < – 1 nên phương trình cosx = – 3 vô nghiệm.

b) cosx = cos15°

⇔ x = 15° + k360° hoặc x = – 15° + k360° .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15° + k360°; – 15° + k360°, k ∈ ℤ}.

c)  $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\text{cos}\frac{3\pi }{12}$

 $\iff x+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}+k2\pi$ hoặc  $x+\frac{\pi }{12}=-\frac{3\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc  $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn  $\tan x=\sqrt{3}$.

Điểm M là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo  $\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điểm N là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo  $-\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a) Điều kiện xác định là:  $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vì tan0 = 0 nên phương trình tanx = 0 có các nghiệm x = kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {kπ, k ∈ ℤ}.

b) tan(30° – 3x) = tan75°

⇔ tan(3x – 30°) = tan(– 75°)

⇔ 3x – 30° = – 75° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ 3x = – 45° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ x = – 15° + k120°, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { – 15° + k120°, k ∈ ℤ}.

Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cotx = – 1.

Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc  $\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos1,16 ≈ 0,4 nên cosx = cos1,16 do đó các nghiệm của phương trình là x = 1,16 + k2π và x = – 1,16 + k2π với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,16 + k2π; – 1,16 + k2π, k ∈ ℤ}.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có:  $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ nên  $\text{tanx}=\tan \frac{\pi }{3}$ do đó các nghiệm của phương trình là  $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Xét phương trình |17cos5πt| = 10

Độ dài bóng |x| bằng 10 cm tại các thời điểm  $t=\pm 0,06+k\frac{2}{5},t=\pm 0,14+k\frac{2}{5}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

a) Vì  $\mathrm{s}\text{in}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ nên ta có phương trình  $\mathrm{s}\text{in2x}=\sin \frac{\pi }{6}$

 $\iff \text{2x}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và  $\text{2x}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ với k ∈ ℤ.

  $\iff \text{x}=\frac{\pi }{12}+k\pi$và  $\text{x}=\frac{5\pi }{12}+k\pi$với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b)  $\sin \left(x-\frac{\pi }{7}\right)=\sin \frac{2\pi }{7}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{7}=\frac{2\pi }{7}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{7}=\frac{5\pi }{7}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{7}+k2\pi \\ x=\frac{6\pi }{7}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{3\pi }{7}+k2\pi ;\frac{6\pi }{7}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

$\sin 4x-\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff \sin 4x=\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff \sin \left(4x\right)=\text{cos}\left(x+\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \sin \left(4x\right)=\text{cos}\left(\frac{\pi }{2}-\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right)$

$\iff \sin \left(4x\right)=\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}4x=x+\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ 4x=\mathrm{\pi } - (\mathrm{x} + \frac{2\pi }{3}) + k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}; \frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a)  $\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 $\iff \text{cos}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b)  $\text{cos}4x=\cos \frac{5\pi }{12}$

 $\iff 4x=\pm \frac{5\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=\pm \frac{5\pi }{48}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{48}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) cos²x = 1

 $\iff \left[\begin{array}{l}\text{cos}x=1\\ \text{cos}x=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a) tanx = tan55° (điều kiện xác định x ≠ 90° + k180°).

⇔ x = 55° + k180°, k ∈ ℤ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {55° + k180°, k ∈ ℤ}.

b)  $\tan \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=0$ (điều kiện xác định  $2x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$)

 $\iff 2x+\frac{\pi }{4}=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là   $S=\left\{-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a)  $\cot \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ (điểu kiện xác định  $x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$)

 $\iff \frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=-\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện)

b)  $\cot 3x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ (điểu kiện xác định  $x\ne k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$)

 $\iff \cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

 $\iff 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: sinx = cosx

⇔ cosx =  $\text{cos}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

⇔   $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}\right.\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là:  $\alpha =\frac{\pi }{10}t$ rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

MO = tanα.1 =  $\tan \left(\frac{\pi }{10}t\right)$.

Vậy tọa độ y_M =  $\tan \left(\frac{\pi }{10}t\right)$.

b) Xét  $\tan \left(\frac{\pi }{10}t\right)=-1$

 $\iff \tan \left(\frac{\pi }{10}t\right)=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

 $\iff \frac{\pi }{10}t=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 $\iff t=-2,5+10k,k\in \mathbb{Z}$

Vì t ≥ 0 nên tại các thời điểm  $t=-2,5+10k,k\in \mathbb{Z},k\ge 1$ thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.