20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Tất cả các nghiệm của phương trình\[{\rm{sinx = sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\]là:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x{\rm{ }} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x{\rm{ }} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\[\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x{\rm{ }} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x{\rm{ }} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Nghiệm của phương trình \[{\rm{cosx = cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}\]là
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{12}} + l2\pi }\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
B
\[\cos x = \cos \frac{\pi }{{12}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Nghiệm của phương trình \[{\rm{cosx = }} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]là
\[x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
A
\[\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Giải phương trình\[\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0\].
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
D
\[\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Tìm tập nghiệm của phương trình\[\tan 3x + \tan x = 0\].
\[\left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\].
\[\left\{ {\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right\}\].
\[\left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\].
\[\left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right\}\].
C
Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 3x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\).
\[\tan 3x + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( { - x} \right) \Leftrightarrow 3x = - x + k\pi \Leftrightarrow x{\rm{ }} = \frac{{k\pi }}{4},\,k \in \mathbb{Z}\].
So sánh điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là\[x = k\pi ;\,x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\].
Phương trình \(2\cos x - \sqrt 2 = 0\) có tất cả các nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
B
\(2\cos x - \sqrt 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình lượng giác \(3\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
\[{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \].
Vô nghiệm.
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \].
\[{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \].
D
Ta có \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Giải phương trình \(cot\left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 .\)
\(x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{1}{3} - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
A
Ta có \(cot\left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\left( {3x - 1} \right) = cot\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Phương trình \(\sin 2x = \cos x\) có nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
D
\(\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giải phương trình: \({\tan ^2}x = 3\) có nghiệm là:
\[{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \].
\[{\rm{x}} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \].
\[{\rm{x}} = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \].
vô nghiệm.
C
\(ta{n^2}x = 3 \Leftrightarrow tanx = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho phương trình lượng giác \(2\sin x = \sqrt 2 \) (*). Khi đó:
a) Phương trình tương đương với phương trình (*) là \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\).
b) Phương trình (*) có nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Phương trình (*) có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).
d) Số nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là hai nghiệm.
a) \(2\sin x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
c) Với k = 0 thì \(x = \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4}\). Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\).
d) Với \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
TH1: \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\) mà k Î ℤ nên k = 0. Suy ra \(x = \frac{\pi }{4}\).
TH2: \( - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}\) mà k Î ℤ nên không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) số nghiệm của phương trình (*) là 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho phương trình \(\cos \left( {4x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - 1\).
a) \(x = \frac{{11\pi }}{{32}}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình bằng \(\frac{\pi }{4}\).
d) Phương trình đã cho có đúng 33 nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {4x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow 4x - \frac{{3\pi }}{8} = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
a) Do đó \(x = \frac{{11\pi }}{{32}}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm M, N, P, Q trên đường tròn lượng giác.
c) Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 0 Þ \(x = \frac{{11\pi }}{{32}}\).
Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 \( \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{5\pi }}{{32}}\).
Suy ra tổng là \(\frac{{11\pi }}{{32}} + \left( {\frac{{ - 5\pi }}{{32}}} \right) = \frac{{3\pi }}{{16}}\).
d) Có \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)\) nên \(\frac{\pi }{4} < \frac{{11\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{2} < \frac{{19\pi }}{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{{16}} < k < \frac{{293}}{{16}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1; …; 18}.
Vậy có tất cả 19 nghiệm.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho phương trình lượng giác \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) , khi đó:
a) Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{3}\).
c) Khi \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình có ba nghiệm.
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\).
a) Phương trình tương đương với: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
b) Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 Þ \(x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6}\).
c) Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ - 1;0\} \).
Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\), với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).
d) Tổng các nghiệm là \(\frac{{ - \pi }}{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho phương trình lượng giác \(\sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\), vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)\).
b) Nghiệm của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
c) Trên \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\] phương trình có 4 nghiệm
d) Tổng các nghiệm của phương trình trên \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\]bằng \(\frac{{47\pi }}{{18}}\).
a) b)Phương trình \( \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} - 2x + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
c) +) Với \(x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \le \pi \)
\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{14}} \le k\frac{{2\pi }}{7} \le \frac{{13\pi }}{{14}} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{13}}{4}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
Suy ra các nghiệm: \(x = \frac{\pi }{{14}},x = \frac{{5\pi }}{{14}},x = \frac{{9\pi }}{{14}},x = \frac{{13\pi }}{{14}}\).
+) Với \(x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow 0 \le - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le \frac{{19\pi }}{{18}} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{19}}{{12}}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\)
Suy ra các nghiệm: \(x = \frac{{11\pi }}{{18}}\).
Vậy có tất cả 5 nghiệm.
d) Vậy tổng các nghiệm là: \(\frac{{47\pi }}{{18}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho phương trình lượng giác \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\) (*). Khi đó:
a) Phương trình (*) có nghiệm \(x = 30^\circ + k90^\circ (k \in \mathbb{Z})\).
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - 30^\circ \).
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) bằng \(180^\circ \).
d) Trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(60^\circ \).
a) \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1 \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ (k \in \mathbb{Z})\).
b) Nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 Þ x = −60°.
c) \( - 180^\circ < x < 90^\circ \Rightarrow - 180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow k = \{ - 2; - 1;0\} \).
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 150^\circ }\\{x = - 60^\circ }\\{x = 30^\circ }\end{array}} \right.\).
Suy ra tổng các nghiệm là \( - 150^\circ - 60^\circ + 30^\circ = - 180^\circ \).
d) Trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(30^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu L (tính theo đơn vị mét) của mực nước trong kênh theo thời gian t (giờ) được cho bởi công thức \(L = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\). Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \(t = \frac{a}{b}\) (giờ) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của a.b.
Ta có\( - 3 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow 11 \le 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14 \le 17\).
Mực nước của kênh cao nhất là 17 khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k8\).
Vì t > 0 và nhỏ nhất nên k = 0. Do đó \(t = \frac{2}{3}\). Suy ra a = 2; b = 3. Do đó ab = 6.
Trả lời: 6.
Vận tốc của một con lắc đơn được mô hình hóa bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right)\), trong đó v(t) là vận tốc được tính bằng đơn vị cm/s tại thời điểm t giây. Trong 12 giây đầu, vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất bao nhiêu lần?
Ta có \( - 1 \le \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - 3 \le - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3\).
Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất là 3 khi \(\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 1,5t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\).
Vì t Î [0; 12] nên \( \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3} \le 12\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{1}{{12}}\) mà k Î ℤ nên k Î {0; 1; 2}.
Vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất 3 lần.
Trả lời: 3.
Hằng ngày mực nước tại cảng Liên Chiểu – Đà Nẵng lên xuống theo thủy triều. Chiều cao h(m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức \(h = 12 + 6\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với 0 £ t £ 24. Hỏi vào lúc mấy giờ thì chiều cao của mực nước tại cảng là 6 m.
Chiều cao của mực nước tại cảng bằng 6 m nên
\(12 + 6\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 6 + 24k,k \in \mathbb{Z}\).
Mà 0 £ t £ 24 nên t = 18. Vậy lúc 18 giờ thì chiều cao của mực nước tại cảng là 6 m.
Trả lời: 18.
Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình sin2x + 2 = m có nghiệm là [a; b]. Khi đó a + b bằng bao nhiêu?
Ta có sin2x + 2 = m Û sin2x = m – 2 có nghiệm khi và chỉ khi
−1£ m – 2 £ 1 Û 1 £ m £ 3 Û m Î [1; 3]. Vậy a + b = 4.
Trả lời: 4.
Một vật M được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng I, biết rằng O là hình chiếu vuông góc của I trên đoạn Ox, tọa độ điểm M trên Ox tại thời điểm t (giây) là đại lượng s (đơn vị: cm) được tính bởi công thức \(s = 8,6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Có bao nhiêu thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì s = 4,3 cm?
Khi s = 4,3 thì \(8,6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4,3\)\( \Rightarrow \sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\8t + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right.\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4}\\t = \frac{\pi }{{24}} + m\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì t Î (0; 2) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4} < 2\\0 < \frac{\pi }{{24}} + m\frac{\pi }{4} < 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{6} < k < \frac{8}{\pi } + \frac{1}{6}\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{8}{\pi } - \frac{1}{6}\end{array} \right.\).
Vì k, m Î ℤ nên k Î {1; 2}; m Î {0; 1; 2}.
Vậy có 5 thời điểm thỏa mãn đề bài.
Trả lời: 5.
