Giải SGK Toán 11 CD Bài 3. Đạo hàm cấp hai có đáp án
20 câu hỏi
Khi tham gia giao thông, một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h (Hình 6) thì tài xế thấy một vật cản phía trước. Để tránh va chạm vật cản, người tài xế đã hãm phanh, ô tô giảm vận tốc cho đến khi dừng hẳn.
Đại lượng đặc trưng cho sự giảm vận tốc thể hiện kiến thức gì trong toán học?
Để trả lời được câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu bài học này.
Xét hàm số y = x3 – 4x2 + 5.
a) Tìm y'.
a) Từ y = x3 – 4x2 + 5 ta có y' = 3x2 – 8x.
b) Tìm đạo hàm của hàm số y'.
b) Đạo hàm của hàm số y' là (3x2 – 8x)' = 6x – 8.
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x.
Từ y = sin3x ta có y' = (sin3x)' = 3cos3x.
Do đó y'' = (3cos3x)' = 3.3.(– sin3x) = –9sin3x.
Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s=12gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.
a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t0 = 4 (s); t1 = 4,1 (s).
a) Vận tốc tức thời: vt=s't=12gt2'=gt (m/s).
Tại thời điểm t0 = 4 (s) thì v(4) ≈ 9,8 . 4 = 39,2 (m/s);
Tại thời điểm t1 = 4,1 (s) thì v(4,1) ≈ 9,8 . 4,1 = 40,18 (m/s).
b) Tính tỉ số ΔvΔt trong khoảng thời gian ∆t = t1 – t0.
b) Ta có ΔvΔt=v4,1−v4t1−t0=40,18−39,24,1−4=9,8.
Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) y=12x+3;
b) y = log3x;
b) Xét hàm số y = log3x xác định với mọi x > 0.
Với x > 0, ta có: y'=log3x'=1xln3
Suy ra y''=1xln3'=−xln3'xln32=−ln3x2ln23=−1x2ln3.
c) y = 2x.
c) Xét hàm số y = 2x, ta có: y' = (2x)' = 2x.ln2
Suy ra y'' = (2x.ln2)' = ln2.2x.ln2 = 2x.ln22.
Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) y = 3x2 – 4x + 5 tại điểm x0 = –2;
a) Xét hàm số y = 3x2 – 4x + 5, ta có:
y' = 6x – 4;
y'' = 6.
Do đó: y''(–2) = 6.
b) y = log3(2x + 1) tại điểm x0 = 3;
c) y = e4x + 3 tại điểm x0 = 1;
c) Xét hàm số y = e4x + 3, ta có:
y' = (e4x + 3)' = (4x + 3)'. e4x + 3 = 4e4x + 3;
y'' = (4e4x + 3)' = 4.(4x + 3)'.e4x + 3 = 16e4x + 3.
Do đó: y''(1) = 16e4.1 + 3 = 16e7.
d) y=sin2x+π3 tại điểm x0=π6;
e) y=cos3x−π6 tại điểm x0 = 0.
Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s=12gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.
a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).
Xét hàm số st=12gt2.
a) Vận tốc tức thời của vật: v(t) = s'(t) = gt.
Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: v(2) ≈ 9,8 . 2 = 19,6 (m/s)
b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2 (s).
b) Gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = g.
Tại thời điểm t0 = 2 (s) có: a(2) ≈ 9,8 (m/s2).
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 8t + 1, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm:
a) Tại thời điểm t = 3 (s);
Xét hàm số s(t) = t3 – 3t2 + 8t + 1.
Suy ra v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 8;
a(t) = v'(t) = 6t – 6.
a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là v(3) = 3.32 – 6.3 + 8 = 17 (m/s).
Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s2).
b) Tại thời điểm mà s(t) = 7 (m).
b) Tại thời điểm s(t) = 7 thì t3 – 3t2 + 8t + 1 = 7
Do đó t3 – 3t2 + 8t – 6 = 0.
Suy ra t = 1 (s)
Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là v(1) = 3.12 – 6.1 + 8 = 5 (m/s).
Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là a(1) = 6.1 – 6 = 0 (m/s2).
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7, có phương trình chuyển động x(t) = 4sint, trong đó t tính bằng giây và x(t) tính bằng centimet
a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc.
a) Phương trình vận tốc tức thời của con lắc là:
v(t) = x'(t) = (4sint)' = 4cost.
Phương trình gia tốc tức thời của con lắc là:
a(t) = v'(t) = (4cost)' = 4(–sint) = –4sint.
b) Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t=2π3 (s). Tại thời điểm đó, con lắc đi theo chiều dương hay chiều âm của trục Ox?
b) Vận tốc tức thời của con lắc tại t=2π3 (s) là: v2π3=4cos2π3=4⋅−12=−2 (m/s).
Gia tốc tức thời của con lắc tại t=2π3 (s) là: a2π3=–4sin2π3=−4⋅32=−23 (m/s2).
Do vận tốc tức thời tại thời điểm t=2π3 (s) mang giá trị âm nên con lắc lúc này đang di chuyển theo chiều âm của trục Ox.
