20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Đạo hàm cấp hai (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là
f(t0).
f"(t0).
f'(t0).
−f'(t0).
B
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là f"(t0).
Cho hàm số f(x) = (x + 1)4. Tính f"(2).
27.
81.
96.
108.
D
f'(x) = 4(x + 1)3; f"(x) = 12(x + 1)2.
Ta có f"(2) = 12(2 + 1)2 = 108.
Hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) có đạo hàm cấp hai là:
y" = 0.
\(y'' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'' = - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\(y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\).
D
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y'' = \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 2x3 – x là
12x.
12x – 1.
6x.
3x + 1.
A
Ta có y' = 6x2 – 1; y" = 12x.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos2x là
y" = −2cos2x.
y" = −2sin2x.
y" = 2cos2x.
y" = 2sin2x.
A
y' = 2cosx.(cosx)' = −2cosxsinx = −sin2x.
y" = −cos2x.(2x)' = −2cos2x.
Cho hàm số f(x) = x3 + 2x + m, giá trị của f"(1) bằng
6.
8.
3.
2.
A
Ta có f'(x) = 3x2 + 2; f"(x) = 6x.
Suy ra f"(1) = 6.1 = 6.
Hàm số \(y = \sqrt {2x + 5} \) có đạo hàm cấp hai bằng
\(y'' = \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\).
\(y'' = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\).
C
Ta có \(y' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\); \(y'' = - \frac{{{{\left( {\sqrt {2x + 5} } \right)}^\prime }}}{{2x + 5}} = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = - 3\cos x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\).
C
\(y = - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).
Suy ra \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Cho hàm số y = xlnx. Khẳng định nào sau đây đúng.
x2y" – xy' + y = 0.
x2y" – xy' – y = 0.
x2y" + y' = 0.
xy' = y.
A
Có y' = lnx + 1; \(y'' = \frac{1}{x}\).
Khi đó x2y" – xy' + y = \({x^2}.\frac{1}{x} - x\left( {\ln x + 1} \right) + x\ln x = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x - {x^2}}}\). Biết phương trình \(f''\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm x1; x2. Tính x1.x2.
\({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}\).
x1x2 = 1.
\({x_1}{x_2} = \frac{3}{4}\).
x1x2 = 0.
A
Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {x - {x^2}} \right)^\prime }{e^{x - {x^2}}} = \left( {1 - 2x} \right).{e^{x - {x^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}}\).
Có f"(x) = 0 \( \Leftrightarrow - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} - 2} \right]{e^{x - {x^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x = \sqrt 2 \\1 - 2x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\). Do đó \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số y = f(x) = sin2x. Khi đó:
a) y'(0) = 2.
b) 4y + y" = 0.
c) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình y' = m có nghiệm.
d) yy' + y"cos2x = 0.
Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.
a) y'(0) = 2.
b) 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.
c) Phương trình y' = m Û\(\cos 2x = \frac{m}{2}\).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là \( - 1 \le \frac{m}{2} \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\)
Mà m Î ℤ nên m Î {−2; −1; 0; 1; 2}.
Do đó có 5 giá trị nguyên của tham số m.
d) Có yy' + y"cos2x = 2sin2xcos2x – 4sin2xcos2x = – 2sin2xcos2x.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{1}{3}\) có đồ thị là (C). Khi đó:
a) Đạo hàm của hàm số là y' = x2 – 2x – 3.
b) Tập nghiệm của bất phương trình y' ≤ 0 có chứa 6 số nguyên.
c) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) là \(y = - 4x + \frac{2}{3}\).
d) Phương trình x.y" – y' = 4 có đúng một nghiệm.
a) y' = x2 – 2x – 3.
b) Có y' ≤ 0 Û x2 – 2x – 3 ≤ 0 Û −1 ≤ x ≤ 3 mà x Î ℤ nên x Î {−1; 0; 1; 2; 3}.
Vậy tập nghiệm cần tìm có chứa 5 số nguyên.
c) Ta có y' = x2 – 2x – 3 với \(x = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow {y'_{\min }} = - 4\).
Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) là: \(y' = - 4\left( {x - 1} \right) - \frac{{10}}{3} = - 4x + \frac{2}{3}\).
d) Ta có y" = 2x – 2 Þ x.y" – y' = 4 Û x2 + 3 = 4 Û x2 = 1 Û x = ±1.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 3t – 1 trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét.
a) Phương trình vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t giây có dạng v(t) = 3t2 – 6t + 3.
b) Phương trình gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t giây có dạng a(t) = 6t + 6.
c) Gia tốc tại thời điểm vận tốc tức thời bằng 3 m/s là 6 m/s2.
d) Quãng đường chất điểm đi được khi vận tốc tức thời của chất điểm bằng 3 m/s bằng 1 m.
a) Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 3.
b) a(t) = v'(t) = 6t – 6.
c) Ta có v(t) = 3 Û 3t2 – 6t + 3 = 3 Û 3t2 – 6t = 0 Û t = 0 (loại) hoặc t = 2 (thỏa mãn).
Khi đó a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.
d) s(2) = 23 – 3.22 + 3.2 – 1 = 1 m.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\), trong đó s tính bằng centimet và t được tính bằng giây.
a) Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là −16π2 cm/s2.
b) Vận tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là 2π cm/s.
c) Vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là −16π2 cm/s2.
Ta có v(t) = s'(t) = \(4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).
a) \(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}\) cm/s2.
b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi \) cm/s.
c) Có \( - 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2 \).
Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \).
Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) cm/s2.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số f(x) = e2x. Khi đó:
a) f'(x) = e2x.
b) f"(ln3) = 36.
c) Tập nghiệm của phương trình f"(x) = 4 là S = {1}.
d) Tập nghiệm của bất phương trình f"(x) ≤ 5ex – 1 có dạng S = [a; b]. Giá trị của biểu thức M = eb – 2a bằng 16.
a) f'(x) = (2x)'.e2x = 2.e2x.
b) f"(x) = 4e2x.
Có f"(ln3) = 4e2ln3 = 4.32 = 36.
c) Có f"(x) = 4 Û 4e2x = 4 Û e2x = 1 Û x = 0.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.
d) Có f"(x) ≤ 5ex – 1 Û 4e2x – 5ex + 1 ≤ 0 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {e^{2x}} \le 1\)\( \Leftrightarrow - \ln 2 \le x \le 0\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = [−ln2; 0].
Suy ra a = −ln2; b = 0. Khi đó M = eb – 2a = e2ln2 = 22 = 4.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 3x + 2}}{{x - 1}}\) có \(f''\left( x \right) = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Tính S = a – b + c – 2d.
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.
Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.
Trả lời: −6.
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + 3{t^2} - 1\), trong đó t là thời gian tính bằng giây, s tính bằng mét. Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t\); a(t) = v'(t) = 2t2 – 4t + 6.
Þ a(t) = 2(t2 – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)2 + 4 ≥ 4.
Dấu “=” xảy khi khi t = 1.
Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là \(v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4,67\) (m/s).
Trả lời: 4,67.
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình \(x\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\), ở đó x tính bằng centimet và thời gian t tính bằng giây. Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Có v(t) = x'(t) = \( - {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.4\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\);
a(t) = v'(t) = \( - 8\pi {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Khi đó a(5) = \( - 16{\pi ^2}\cos \left( {10\pi + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \frac{\pi }{3} \approx - 79\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Trả lời: −79.
Cho hàm số f(x) = x3 – 3mx2 + x + 1. Tìm giá trị tham số m sao cho f"(1) = 18.
Có f'(x) = 3x2 – 6mx + 1; f"(x) = 6x – 6m.
Để f"(1) = 18 thì 6.1 – 6m = 18 Û m = −2.
Trả lời: −2.
Cho \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \), tính giá trị biểu thức \(A = {y^3}.y''\).
Ta có: \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},\,\,\,y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}\)
Do đó: \(A = {y^3}.y'' = - 1\).
Trả lời: −1.
