\(y = - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).

 Suy ra \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Có y' = lnx + 1; \(y'' = \frac{1}{x}\).

Khi đó x²y" – xy' + y = \({x^2}.\frac{1}{x} - x\left( {\ln x + 1} \right) + x\ln x = 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {x - {x^2}} \right)^\prime }{e^{x - {x^2}}} = \left( {1 - 2x} \right).{e^{x - {x^2}}}\);

\(f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}}\).

Có f"(x) = 0 \( \Leftrightarrow - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2} - 2} \right]{e^{x - {x^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x = \sqrt 2 \\1 - 2x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\). Do đó \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4}\).

Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.

a) y'(0) = 2.

b) 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.

c) Phương trình y' = m Û \(\cos 2x = \frac{m}{2}\).

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \( - 1 \le \frac{m}{2} \le 1\)\( \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\)

Mà m Î ℤ nên m Î {−2; −1; 0; 1; 2}.

Do đó có 5 giá trị nguyên của tham số m.

d) Có yy' + y"cos2x = 2sin2xcos2x – 4sin2xcos2x = – 2sin2xcos2x.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai;   d) Sai.

a) y' = x² – 2x – 3.

b) Có y' ≤ 0 Û x² – 2x – 3 ≤ 0 Û −1 ≤ x ≤ 3 mà x Î ℤ nên x Î {−1; 0; 1; 2; 3}.

Vậy tập nghiệm cần tìm có chứa 5 số nguyên.

c) Ta có y' = x² – 2x – 3 với \(x = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow {y'_{\min }} = - 4\).

Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C) là: \(y' = - 4\left( {x - 1} \right) - \frac{{10}}{3} = - 4x + \frac{2}{3}\).

d) Ta có y" = 2x – 2 Þ x.y" – y' = 4 Û x² + 3 = 4 Û x² = 1 Û x = ±1.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng;   d) Sai.

a) Ta có v(t) = s'(t) = 3t² – 6t + 3.

b) a(t) = v'(t) = 6t – 6.

c) Ta có v(t) = 3 Û 3t² – 6t + 3 = 3 Û 3t² – 6t = 0 Û t = 0 (loại) hoặc t = 2 (thỏa mãn).

Khi đó a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

d) s(2) = 2³ – 3.2² + 3.2 – 1 = 1 m.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;    c) Đúng;   d) Đúng.

Ta có v(t) = s'(t) = \(4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).

a) \(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}\) cm/s².

b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi \) cm/s.

c) Có \( - 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2 \).

Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.

d) \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \).

Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) cm/s².

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) f'(x) = (2x)'.e^2x = 2.e^2x.

b) f"(x) = 4e^2x.

Có f"(ln3) = 4e^2ln3 = 4.3² = 36.

c) Có f"(x) = 4 Û 4e^2x = 4 Û e^2x = 1 Û x = 0.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.

d) Có f"(x) ≤ 5e^x – 1 Û 4e^2x – 5e^x + 1 ≤ 0 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {e^{2x}} \le 1\)\( \Leftrightarrow - \ln 2 \le x \le 0\).

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = [−ln2; 0].

Suy ra a = −ln2; b = 0. Khi đó M = e^{b – 2a} = e^2ln2 = 2² = 4.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\);

\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).

Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.

Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.

Trả lời: −6.

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t\); a(t) = v'(t) = 2t² – 4t + 6.

Þ a(t) = 2(t² – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)² + 4 ≥ 4.

Dấu “=” xảy khi khi t = 1.

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là \(v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4,67\) (m/s).

Trả lời: 4,67.

Có v(t) = x'(t) = \( - {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.4\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\);

a(t) = v'(t) = \( - 8\pi {\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }.\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Khi đó a(5) = \( - 16{\pi ^2}\cos \left( {10\pi + \frac{\pi }{3}} \right) = - 16{\pi ^2}\cos \frac{\pi }{3} \approx - 79\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).

Trả lời: −79.

Có f'(x) = 3x² – 6mx + 1; f"(x) = 6x – 6m.

Để f"(1) = 18 thì 6.1 – 6m = 18 Û m = −2.

Trả lời: −2.

Ta có: \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},\,\,\,y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}\)

Do đó: \(A = {y^3}.y'' = - 1\).

Trả lời: −1.