Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Các phép biến đổi lượng giác có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

Với \(a = \frac{\pi }{6}\) ta có \[\sin a = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]; \(\cos a = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Với \(b = \frac{\pi }{3}\)ta có \[\sin b = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]; \(\cos b = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\);

          \[\sin a\cos b + \cos a\sin b = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\]

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

                          = sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

                          = sina cosb + cosa (‒sinb)

                          = sina cosb ‒ cosa sinb

Áp dụng công thức cộng ta có:

\[\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\]

\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).

Ta có: cos(a + b) = \(\sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]\)

               \( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\cos b - c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\sin b\)

               \( = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\)

Vậy cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb.

Ta có: cos(a – b) = cos[a + (‒b)]

             = cosa cos(‒b) – sina sin(‒b)

             = cosa cosb ‒ sina (‒sinb)

             = cosa cosb + sina sinb.

Vậy cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

cos15° = cos(45° ‒ 30°)

            = cos45°.cos30° + sin45°.sin30°

            \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a + b) \( = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{cos\left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\)

                \[ = \frac{{\frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}\] (chia cả tử và mẫu cho cosacosb)

                \[ = \frac{{\frac{{\sin a\cos b}}{{\cos a\cos b}} + \frac{{\cos a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b}}{{\cos a\cos b}} - \frac{{\sin a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}\]

                \[ = \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} + \frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}{{1 - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}.\frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}\]

                \[ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\]

Vậy \[\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\].

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

\[tan\left( {a - b} \right) = tan\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\]

                 \[ = \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a\tan \left( { - b} \right)}}\]

                 \[ = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\].

Vậy \[\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\].

Áp dụng công thức cộng, ta có:

tan165° = tan(120° + 45°)

              \[ = \frac{{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ }}{{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ }}\]

              \[ = \frac{{ - \sqrt 3 + 1}}{{1 - \left( { - \sqrt 3 } \right).1}} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}\]        

              \( = \frac{{1 - 2\sqrt 3 + 3}}{{1 - 3}} = \frac{{4 - 1\sqrt 3 }}{{ - 2}} = - 2 + \sqrt 3 \).

Vậy \(\tan 165^\circ = - 2 + \sqrt 3 \).

Ta có:

• sin2a = sin(a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa;

• cos2a = cos(a + a) = cosacosa – sinasina = cos²a – sin²a;

• Khi các biểu thức đều có nghĩa thì

   \[\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\].

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

\[\tan a = \frac{{2\tan \frac{a}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{a}{2}}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right)}}{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 3}} = \frac{4}{3}\].

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

• \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Mà \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\sin \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\).

• \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\)

Mà \(\cos \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\cos \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\).

Ta có:

• cos(a + b) + cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) + (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb + cosa cosb + sina sinb

= 2cosa cosb.

• cos(a + b) – cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) – (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb – cosa cosb – sina sinb

= –2sina sinb.

• sin(a + b) + sin(a – b)

= (sina cosb + cosa sinb) + (sina cosb ‒ cosa sinb)

= sina cosb + cosa sinb + sina cosb ‒ cosa sinb

= 2sina cosb.

Vậy cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa cosb;

        cos(a + b) – cos(a – b) = –2sina sinb;

        sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina cosb.

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

\(B = \cos \frac{{3a}}{2}\cos \frac{a}{2}\)

    \( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3a}}{2} + \frac{a}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3a}}{2} - \frac{a}{2}} \right)} \right]\)

    \( = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos a} \right]\)

Mà cos2a = 2cos²a – 1 = \(2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{4}{9} - 1 = - \frac{1}{9}\)

Do đó \(B = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos a} \right] = \frac{1}{2}.\left[ { - \frac{1}{9} + \frac{2}{3}} \right] = \frac{5}{{18}}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = u\\a - b = v\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{u + v}}{2}\\b = \frac{{u - v}}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó:

• cosu + cosv = cos(a + b) + cos(a – b)

                       = 2cosa cosb

                       \( = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).

• cosu – cosv = cos(a + b) – cos(a – b)

                       = –2sina sinb

                       \( = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).

• sinu + sinv = sin(a + b) + sin(a – b)

                      = 2sina cosb

                      \( = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).

• sinu – sinv = sin(a + b) – sin(a – b)

                     = sin(b + a) + sin(b – a)

                      = 2sinb cosa = 2cosa sinb

                      \( = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

\[\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9} = 2\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2} = 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\cos \frac{\pi }{3}\];

\[{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9} = - 2\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2} = - 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\sin \frac{\pi }{3}\].

Khi đó: \[D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\]

                 \( = \frac{{2\sin \frac{{4\pi }}{9}\cos \frac{\pi }{3}}}{{ - 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\sin \frac{\pi }{3}}} = - \frac{{\cos \frac{\pi }{3}}}{{\sin \frac{\pi }{3}}} = - \cot \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Do \(0 < a < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin a > 0\).

Áp dụng công thức sin²a + cos²a = 1, ta có:

\[si{n^2}a + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\]

\( \Rightarrow si{n^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

\[ \Rightarrow \sin a = \frac{4}{5}\] (do sina > 0).

Khi đó \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{4}{5}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{4}{3}\).

Áp dụng công thức cộng, ta có:

• \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{6} + \cos a\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{4\sqrt 3 + 3}}{{10}}\);

• \(cos\left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a\,cos\frac{\pi }{3} + \sin a\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\);

• \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 - \frac{4}{3}.1}} = \frac{{\frac{7}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} = - 7\).

Ta có:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°)

    = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – cos(a – 17°)sin(a + 13°)

    = sin[(a – 17°) – (a + 13°)]

    = sin(a – 17° – a – 13°)

    = sin(‒30°)

    = ‒ sin30°

    \( = - \frac{1}{2}\).

\(B = cos\left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)\)

   \[ = cos\left[ {\left( {b + \frac{\pi }{3}} \right) + \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)} \right]\]

   \[ = cos\left[ {b + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} - b} \right]\]

   \[ = cos\frac{\pi }{2} = 0\].

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

         \( = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = \frac{5}{{ - 5}} = - 1\);

tan2b = tan[(a + b) ‒ (a – b)]

          \( = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) - \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 - 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}\).

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

cos2a = 1 – 2sin²a = \(1 - 2.{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{4}{5} = - \frac{3}{5}\).

cos4a = 2cos²2a – 1 = \(2.{\left( { - \frac{3}{5}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{9}{{25}} - 1 = - \frac{7}{{25}}\).

Ta có: sina + cosa = 1

Þ (sina + cosa)² = 1²

Þ sin²a + 2sina cosa + cos²a = 1

Þ 2sina cosa + (sin²a + cos²a) = 1

Þ sin2a + 1 = 1

Þ sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

Do \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cosa < 0 và sina > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

• \({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2} = \frac{{1 - \frac{1}{3}}}{2} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \sin a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (do sina > 0).

• \({\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2} = \frac{{1 + \frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \cos a = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) (do cosa < 0).

Khi đó: \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 6 }}{3}}}\)\( = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\sin a = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cos a = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) và \(\tan a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có:

\[A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\]

    \[ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{6} + x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6} - x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\]

    \[ = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{3}} \right]\]

    \[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right] = \frac{3}{8}\].

\(B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

    \[ = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{3} + x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\]

    \[ = - \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right]\]

    \[ = - \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{4} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right] = - \frac{3}{8}\].

Vậy \(A = \frac{3}{8},B = - \frac{3}{8}\).

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

\(A = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}\)

\( = \frac{{2\sin x\cos x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}}\)(sử dụng công thức nhân đôi)

\( = \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x}}\)

\( = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x\).

Vậy A = tan x.

Đặt \(\widehat {AOH} = \beta \).

Xét DAOH vuông tại H, ta có: \(\tan \beta = \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{14}}{{15}}\).

Đặt \(\widehat {BOH} = \gamma \)

Xét DBOH vuông tại H, ta có: \(\tan \gamma = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\).

\(\tan \alpha = \tan \left( {\beta - \widehat {BOH}} \right) = \tan \left( {\beta - \gamma } \right) = \frac{{\tan \beta - \tan \gamma }}{{1 + \tan \beta \tan \gamma }}\)

         \( = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{{131}}{{75}}}} = \frac{{10}}{{131}}\).

Vậy \(\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}}\).

Từ \(\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}}\), để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay, trước tiên chuyển máy về chế độ “độ”, sau đó ấn lần lượt các nút:

 

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt \(\widehat {BCN} = \alpha ,\widehat {ACM} = \beta \).

Xét DBCN vuông tại N có: \(\tan \alpha = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{20}}{8} = \frac{5}{2}\);

Xét DACM vuông tại M có: \(\tan \beta = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{20}}{{26}} = \frac{{10}}{{13}}\);

Ta có: \(\tan \widehat {ACB} = \tan \left( {\widehat {BCN} - \widehat {ACM}} \right) = \tan \left( {\alpha - \beta } \right)\)

     \[ \Rightarrow \tan \widehat {ACB} = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{{10}}{{13}}}}{{1 + \frac{5}{2}.\frac{{10}}{{13}}}} = \frac{{45}}{{76}}\].

     \( \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 31^\circ \).

Vậy góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I) có số đo xấp xỉ 31°.