Giải SBT Toán 9 CTST Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{{\left(\sqrt{15}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2\cdot 15}}{15}=\frac{5\sqrt{30}}{15}=\frac{\sqrt{30}}{3}.$

b) $-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{18}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{18}}{{\left(\sqrt{18}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3^2\cdot 2}}{18}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}}{18}=\frac{6\sqrt{5\cdot 2}}{18}=\frac{\sqrt{10}}{3}.$

c) Với a>0, b>0, ta có:

$\frac{6a}{\sqrt{2a{b}^2}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot \sqrt{b^2}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot b}=\frac{6a\cdot \sqrt{2a}}{b\cdot {\left(\sqrt{2a}\right)}^2}=\frac{6a\sqrt{2a}}{b\cdot 2a}=\frac{3\sqrt{2a}}{b}$

a) $\sqrt{\frac{10}{11}}=\sqrt{\frac{10\cdot 11}{{11}^2}}=\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{{11}^2}}=\frac{\sqrt{110}}{11}.$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}}=\sqrt{\frac{14\cdot 3}{3\cdot 100}}=\sqrt{\frac{14}{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{{10}^2}}=\frac{\sqrt{14}}{10}.$

c) $\sqrt{\frac{5a}{12b}}=\sqrt{\frac{5a}{4\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a}{2^2\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a\cdot 3b}{2^2\cdot 3^2\cdot b^2}}=\frac{\sqrt{15ab}}{\sqrt{{\left(2\cdot 3\right)}^2\cdot b^2}}=\frac{\sqrt{15ab}}{6b}.$ 

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là h (cm) (h > 0).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot h=3\cdot 5\cdot h=15h$ (cm³).

Theo bài, thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $30\sqrt{5}$ cm nên ta có:

$15h=30\sqrt{5},$ suy ra: $h=\frac{30\sqrt{5}}{15}=2\sqrt{5}$ (cm).

Tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là:

$4\cdot \left(3\sqrt{5}+\sqrt{5}+2\sqrt{5}\right)=4\cdot 6\sqrt{5}=24\sqrt{5}$ cm.

Do ∆ABC cân tại B nên BA = BC.

Do ∆ACD cân tại C nên CA = CD.

Do ∆ADE cân tại D nên DA = DE.

Do ∆AEF cân tại E nên EA = EF.

Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

$DA=\sqrt{C{A}^2+C{D}^2}=\sqrt{2C{D}^2}=CD\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ (m).

Xét ∆ADE vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

$EA=\sqrt{D{A}^2{\text{+DE}}^2}=\sqrt{2D{A}^2}=DA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2a$ (m).

Xét ∆AEF vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

$AF=\sqrt{E{A}^2{\text{+EF}}^2}=\sqrt{2E{A}^2}=EA\sqrt{2}=2a\cdot \sqrt{2}=2a\sqrt{2}$ (m).

Xét ∆ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

$CA=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=\sqrt{2B{A}^2}=BA\sqrt{2}$

Suy ra $BA=\frac{CA}{\sqrt{2}}=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (m).

Từ đó, $BF=BA+AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}+2a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{4a\sqrt{2}}{2}=\frac{5a\sqrt{2}}{2}$ (m).

Vậy $BF=\frac{5a\sqrt{2}}{2}\text{ (m).}$

Thay x = 0,64 vào biểu thức trên ta được:

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{0,64}-4\right)\left(\sqrt{0,64}-1\right)\\ =\left(\sqrt{0,8^2}-4\right)\left(\sqrt{0,8^2}-1\right)\end{array}$

= (0,8 ‒ 4)(0,8 ‒ 1)

= ‒3,2.(‒0,2) = 0,64.

a) Thể tích của hình lập phương là: V = x³ (cm³).

Diện tích 1 mặt của hình lập phương là: x² (cm²).

Do hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông cạnh x (cm) nên diện tích các mặt của hình lập phương là:

S = 6x² (cm²).

b) Từ S = 6x², ta có: $x^2=\frac{S}{6},$ suy ra $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ (cm) (do x > 0).

Vậy công thức tính x theo S là: $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ (cm).

c) Thay $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ vào biểu thức V = x³ ta được:

$V={\left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)}^3=\frac{{\left(\sqrt{S}\right)}^3}{{\left(\sqrt{6}\right)}^3}=\frac{{\left(\sqrt{S}\right)}^2\cdot \sqrt{S}}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2\cdot \sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{6S}}{36}$ (cm³).

Thay S = 50 vào biểu thức trên ta được:

$V=\frac{50\sqrt{6\cdot 50}}{36}=\frac{50\cdot \sqrt{{10}^2\cdot 3}}{36}=\frac{50\cdot 10\cdot \sqrt{3}}{36}=\frac{125\sqrt{3}}{9}$ (cm³).