Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Do đó, các phương trình b) và d) là các phương trình bậc hai một ẩn.

Ở phương trình \( - 3{x^2} + 17x - \sqrt 7 = 0,\) ta có \(a = - 3,\,\,b = 17,\,\,c = - \sqrt 7 .\)

Ở phương trình \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}{x^2} = 0,\) ta có \(a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }},\,\,b = 0,\,\,c = 0.\)

Để phương trình (m² – 1)x² – 5x + 7m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn thì:

m² ‒ 1 ≠ 0, hay (m – 1)(m + 1) ≠ 0, suy ra m ≠ 1 và m ≠ ‒1.

a) 2x² – 7x = 0

x(2x ‒ 7) = 0

x = 0 hặc 2x ‒ 7 = 0

x = 0 hoặc \[x = \frac{7}{2}.\]

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 0, \[{x_2} = \frac{7}{2}.\]

b) \( - {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0;\)

Phương trình trên có \[\Delta = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt {21} } \right) = 8 - 4\sqrt {21} < 0.\]

Suy ra phương trình \( - {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0\) vô nghiệm.

c) \( - \sqrt 5 {x^2} + 2x + 3\sqrt 5 = 0;\)

Phương trình trên có \[\Delta ' = {1^2} - \left( { - \sqrt 5 } \right) \cdot 3\sqrt 5 = 16 > 0\] và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 1 + 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{3}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5}.\]

\[{x_2} = \frac{{ - 1 - 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 5}}{{ - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 .\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5};{x_2} = \sqrt 5 .\)

d) 1,5x² – 0,4x – 1,2 = –1,1x² + 1

 2,6x² – 0,4x ‒ 2,2 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒0,2)² ‒ 2,6.(‒2,2) = 5,76 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {5,76} = 2,4.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{0,2 + 2,4}}{{2,6}} = \frac{{2,6}}{{2,6}} = 1;\]

\[{x_2} = \frac{{0,2 - 2,4}}{{2,6}} = \frac{{ - 2,2}}{{2,6}} = \frac{{ - 11}}{{13}}.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - 11}}{{13}}.\)

e) \(\left( {\sqrt 7 - 2} \right){x^2} + 3x + 10 = {x^2} + 10\)

\(\left( {\sqrt 7 - 2 - 1} \right){x^2} + 3x = 0\)

\(\left( {\sqrt 7 - 3} \right){x^2} + 3x = 0\)

\[x\left[ {\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3} \right] = 0\]

x = 0 hoặc \[\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3 = 0\]

x = 0 hoặc \[x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 - 3}}\]

x = 0 hoặc \(x = \frac{{ - 3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{{7 - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 0;\,\,{x_2} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.\)

g) \( - \sqrt {32} {x^2} - 4x + \sqrt 2 = \sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 8 \)

\[\left( {\sqrt 2 + \sqrt {32} } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0\]

\[\left( {\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0\]

\[5\sqrt 2 {x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0.\]

Phương trình trên có \[\Delta = {5^2} - 4 \cdot 5\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)\]

 \[ = 25 - 20\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)\]

= 25 + 40 + 80 = 145.

\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 + \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \[{x_1} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};\] \[{x_2} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.\]

Xét phương trình: mx² – 2x + 7 = 0.

Trường hợp 1. m = 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc nhất:

– 2x + 7 = 0

– 2x = – 7

     x = 3,5.

Do đó với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3,5 nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2. m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.

Khi đó, phương trình vô nghiệm ∆ < 0.

Ta có: ∆ = (‒2)² ‒ 4.m.7 = 4 ‒ 28m.

Do đó, ∆ < 0 khi 4 ‒ 28m < 0, suy ra ‒ 28m < ‒4 nên \(m > \frac{1}{7}\) (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy \(m > \frac{1}{7}\) thì phương trình vô nghiệm

a) Tổng số S các khối hàng ở một hình tháp n tầng là:

\(S = 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2}\) (khối hàng).

b) Ta có: S = 120, suy ra: \(\frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2} = 120\) hay n² + n – 240 = 0.

Phương trình n² + n – 240 = 0 có ∆ = 1² ‒ 4.1.(‒240) = 961 > 0 và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {961} = 31.\)

Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là

\[{n_1} = \frac{{ - 1 + 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{30}}{2} = 15\] (thoả mãn);

\[{n_2} = \frac{{ - 1 - 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16\] (không thoả mãn).

Vậy n = 15.

a) Quãng đường ô tô đó đi được sau 7 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s = 7² + 16.7 = 161 (m).

b) Thời gian để đi được quãng đường 80 m kể từ khi bắt đầu tăng tốc là nghiệm của phương trình t² + 16t = 80 hay t² + 16t ‒ 80 = 0.

Phương trình t² + 16t ‒ 80 = 0 có ∆’ = 8² ‒ 1.(‒80) = 144 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {144} = 12.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{t_1} = \frac{{ - 8 + 12}}{1} = \frac{4}{1} = 4\] (thỏa mãn);

\[{t_2} = \frac{{ - 8 - 12}}{1} = \frac{{ - 20}}{1} = - 20\] (không thỏa mãn).

Vậy thời gian để đi được quãng đường 80 m kể từ khi bắt đầu tăng tốc là 4 giây.

Doanh thu từ tiền bán vé của ngày hôm đó là 12 249 nghìn đồng nên ta có:

–10x² + 700x – 1 = 12 249

Hay 10x² ‒ 700x + 12 250 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒350)² ‒ 10.12 250 = 0, nên phương trình có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = \frac{{350}}{{10}} = 35.\]

Vậy giá vé bán trong ngày 1 tháng 6 của rạp chiếu phim đó là 35 nghìn đồng.

Giá bán của một kilôgam thịt lợn sau lần tăng giá thứ nhất là:

100 + 100.x% = 100 + x (nghìn đồng).

Giá bán của một kilôgam thịt lợn sau lần tăng giá thứ hai là:

100 + x + (100 + x).x% = 100 + x + x + 0,01x² = 0,01x² + 2x + 100 (nghìn đồng).

Theo bài, sau hai đợt tăng giá, giá của một kilôgam thịt lợn là 108 nghìn đồng nên ta có phương trình: 0,01x² + 2x + 100 = 108.

Giải phương trình:

0,01x² + 2x + 100 = 108

0,01x² + 2x – 8 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 1² – 0,01.(–8) = 1,08 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {1,08} }}{{0,01}} \approx 4,0\) (thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {1,08} }}{{0,01}} \approx - 204\) (không thỏa mãn).

Vậy x ≈ 4%.

Gọi số xe lớn công ty dự định thuê là x (x ∈ ℕ^*, đơn vị: chiếc) thì số xe nhỏ công ty thuê là x + 2 (chiếc).

Mỗi xe lớn công ty dự định thuê chở số người là \(\frac{{210}}{x}\) (người).

Mỗi xe nhỏ thực tế công ty thuê chở số người là \(\frac{{210}}{{x + 2}}\) (người).

Mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người nên ta có phương trình: \(\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{{x + 2}} = 12.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{{x + 2}} = 12\)

\(\frac{{210\left( {x + 2} \right) - 210x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 12\)

210x + 420 – 210x = 12(x² + 2x)

420 = 12x² + 24x

x² + 2x ‒ 35 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 1² – 1.(‒35) = 36 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 + 6}}{1} = 5\) (thoả mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 1 - 6}}{1} = - 7\) (không thoả mãn).

Vậy số xe nhỏ công ty đã thuê là 5 + 2 = 7 chiếc.