Giải SBT Toán 8 CTST Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ có đáp án
38 câu hỏi
Tính:
a) (4x – 5)2;
a) (4x – 5)2 = (4x)2 ‒ 2.4x.5 + 52 = 16x2 ‒ 40x + 25.
b) 3x+13y2;
b) 3x+13y2=3x2+2⋅3x⋅13y+13y2=9x2+2xy+19y2.
c) (–x + 0,3)2;
c) (–x + 0,3)2 = (‒x)2 + 2.(‒x).0,3 + 0,32 = x2 ‒ 0,6x + 0,09.
d) (–x – 10y)2;
d) (–x – 10y)2 = (‒x)2 + 2.(‒x).(‒10y) + (‒10y)2 = x2 + 20xy + 100y2.
e) (a3 – 3a)2;
e) (a3 – 3a)2 = (a3)2 ‒ 2.a3.3a + (3a)2 = a6 + 6a4 + 9a2.
g) a4+12a22.
g) a4+12a22=a42+2⋅a⋅412a2+12a22=a8+a6+14a4.
Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (1 – 4x)(1 + 4x);
a) (1 – 4x)(1 + 4x) = 12 ‒ (4x)2 = 1 ‒ 16x2.
b) (–2x – 5y)(2x – 5y);
b) (–2x – 5y)(2x – 5y)= ‒[(2x + 5y)(2x – 5y)]
= ‒ [(2x)2 ‒ (5y)2] = ‒(4x2 ‒ 25y2) = 25y2 ‒ 4x2.
c) (x3 – 3x)(3x + x3);
c) (x3 – 3x)(3x + x3) = (x3)2 ‒ (3x)2 = x6 ‒ 9x2.
d) (1 + x + x2)(1 + x – x2).
d) (1 + x + x2)(1 + x – x2) = (1 + x)2 ‒ (x2)2
= 1 + 2.1.x + x2 ‒ x4 = 1 + 2x + x2 ‒ x4.
Tính nhanh:
a) 50,52 – 50,42;
a) 50,52 – 50,42 = (50,5 ‒ 50,4)(50,5 + 50,4) = 100,9.0,1 = 10,09.
b) 202.198;
b) 202.198 = (200 + 2)(200 ‒ 2) = 2002 ‒ 22 = 40000 ‒ 4 = 39996.
c) 10,22;
c) 10,22 = (10 + 0,2)2 = 102 + 2.10.0,2 + 0,22 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.
d) 1012 – 202.71 + 712.
d) 1012 – 202.71 + 712 = 1012 – 2.101.71 + 712 = (101 ‒ 71)2 = 302 = 900.
Tính giá trị của biểu thức:
a) P = (x – 10)2 – x(x + 80) tại x = 0,87;
a) P = (x – 10)2 – x(x + 80)
= x2 ‒ 2.x.10 + 102 ‒ x2 ‒ 80x
= x2 ‒ 20x + 100 ‒ x2 ‒ 80x
= (x2 ‒ x2)+ (‒20x ‒ 80x) + 100
= ‒ 100x + 100 = 100(1 ‒ x).
Với x = 0,87 ta có:
P = 100(1 ‒ 0,87) = 100.0,13 = 13.
b) Q = 4a2 + 8ab + 4b2 tại a = 65 và b = 35;
b) Q = 4a2 + 8ab + 4b2 = (2a)2 + 2.2a.2b + (2b)2 = (2a + 2b)2
Với a = 65 và b = 35 ta có:
Q = (2.65 + 2.35)2 = 2002 = 40000.
c) R = x3 − 3x2 + 3x − 1 tại x = 101.
c) R = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x ‒ 1)3
Với x = 101 ta có:
R = (101 ‒ 1)3 = 1003 = 1000000.
Thu gọn các biểu thức sau:
a) 20x2 – (5x – 4)(4 + 5x);
a) 20x2 – (5x – 4)(4 + 5x)
= 20x2 – [(5x – 4)(5x + 4)]
= 20x2 ‒ [(5x)2 ‒ 42]
= 20x2 ‒ (25x2 ‒16)
= 20x2 ‒ 25x2 + 16
= 16 ‒ 5x2.
b) (x – y)2 – x(x + 2y);
b) (x – y)2 – x(x + 2y)
= x2 ‒ 2xy + y2 ‒ x2 ‒ 2xy
= (x2 ‒ x2) + (‒2xy ‒ 2xy) + y2
= ‒4xy + y2.
c) (x + 3)3(x – 3)3;
c) (x + 3)3 ‒ (x – 3)3
= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 27 ‒ (x3 ‒ 3.x2.3 + 3.x.32 ‒ 27)
= x3 + 9x2 + 27x + 27 ‒ x3 + 9x2 ‒ 27x + 27
= (x3 ‒ x3) + (9x2 + 9x2) + (27x ‒ 27x) + 27 + 27
= 18x2 + 54.
d) x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x2 + 3x + 9).
d) x(x – 1)(x + 1) – (x − 3)(x2 + 3x + 9)
= x[(x – 1)(x + 1)] ‒ (x3 ‒ 33)
= x(x2 ‒ 1) ‒ (x3 – 27)
= x3 ‒ x ‒ x3 + 27
= (x3 ‒ x3) ‒ x + 27
= 27 ‒ x.
Biết rằng x = 2a + b và y = 2a – b. Tính các biểu thức sau theo a và b.
a) A=12xy;
a) Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức A=12xy ta được:
A=122a+b2a−b=122a2−b2=124a2−b2=2a2−12b2.
b) B = x2 + y2;
b) Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức B = x2 + y2, ta được:
B = (2a + b)2 + (2a ‒ b)2
= (2a)2 + 2.2a.b + b2 + (2a)2 ‒ 2.2a.b + b2
= 4a2 + 4ab + b2 + 4a2 ‒ 4ab + b2
= (4a2 + 4a2) + (4ab ‒ 4ab) + (b2 + b2)
= 8a2 + 2b2.
c) C = x2 – y2.
c) Cách 1:
Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức C = x2 – y2, ta được:
C = (2a + b)2 ‒ (2a ‒ b)2
= (2a)2 + 2.2a.b + b2 ‒ [(2a)2 ‒ 2.2a.b + b2]
= 4a2 + 4ab + b2 ‒ 4a2 + 4ab ‒ b2
= (4a2 ‒ 4a2) + (4ab + 4ab) + (b2 ‒ b2)
= 8ab.
Cách 2:
Thay x = 2a + b và y = 2a – b vào biểu thức C = x2 – y2, ta được:
C = (2a + b)2 ‒ (2a ‒ b)2
= [(2a + b) – (2a – b)].[(2a + b) + (2a – b)]
= (2a + b – 2a + b)(2a + b + 2a – b)
= 2b.4a = 8ab.
Chứng minh rằng:
a) 3373 + 1633 chia hết cho 500;
a) 3373 + 1633
= (337 + 163)(3372 ‒ 337.163 + 1632)
= 500.(3372 ‒ 337.163 + 1632) chia hết cho 500 do 3372 ‒ 337.163 + 1632 là một số nguyên.
Vậy 3373 + 1633 chia hết cho 500.
b) 2343 – 1233 chia hết cho 3.
b) 2343 – 1233
= (234 ‒ 123)(2342 + 234.123 + 1232)
= 111.(2342 + 234.123 + 1232)
Ta có 111 chia hết cho 3 (do có tổng các chữ số 1 + 1 + 1 = 3 chia hết cho 3) và 2342 + 234.123 + 1232 là một số nguyên.
Vậy 2343 – 1233 chia hết cho 3.
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n,
a)(2n + 1)2 − (2n − 1)2 chia hết cho 8;
a) (2n +1)2 ‒ (2n ‒ 1)2
= (2n + 1 + 2n ‒ 1)(2n +1 ‒ 2n + 1)
= 4n.2 = 8n.
Vì 8n chia hết cho 8 nên (2n +1)2 ‒ (2n ‒ 1)2 chia hết cho 8.
b)(8n + 4)2 − (2n + 1)2 chia hết cho 15.
b) (8n + 4)2 − (2n + 1)2
= (8n + 4 + 2n + 1)(8n + 4 ‒ 2n ‒ 1)
= (10n + 5)(6n + 3)
= 5.(2n + 1).3(2n + 1)
= 15(2n + 1)2
Vì 15 chia hết cho 15 nên 15(2n + 1)2 chia hết cho 15, do đó (8n + 4)2 − (2n + 1)2 chia hết cho 15.
Vậy (8n + 4)2 − (2n + 1)2 chia hết cho 15.
Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.
a) (a + *)2 = a2 + 4ab + 4b2;
a) Ta có: a2 + 4ab + 4b2 = a2 + 2.a.2b + (2b)2 = (a + 2b)2.
Vậy dấu * thay bằng 2b.
b) (x – *)2 = x2 – 8ax + 16a2;
b) x2 – 8ax + 16a2 = x2 ‒ 2.x.4a + (4a)2 = (x ‒ 4a)2.
Vậy dấu * thay bằng 4a.
c) (* – 5y)2 = 0,16x2 – * + 25y2;
c) 0,16x2 = (0,4x)2; 25y2 = (5y2)
(0,4x ‒ 5y)2 = (0,4x)2 ‒ 2.0,4x.5y + (5y2) = 0,16x2 ‒ 4xy + 25y2
Vậy các dấu * thay lần lượt bằng 0,4x và 4xy.
d) (3x – 0,5y)2 = 9x2 + 0,25y2 + *.
d) (3x – 0,5y)2 = (3x)2 ‒ 2.3x.0,5y + (0,5y)2 = 9x2 ‒ 3xy + 0,25y2
Vậy dấu * thay bằng ‒3xy .
Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (x2 + 4y2)(x + 2y)(x – 2y);
a) (x2 + 4y2)(x + 2y)(x – 2y)
= (x2 + 4y2)[(x + 2y)(x – 2y)]
= (x2 + 4y2)[x2 ‒ (2y)2]
= (x2 + 4y2)(x2 + 4y2)
= (x2)2 ‒ (4y2)2 = x4 ‒ 16y4.
b) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1).
b) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)
= [(x – 1)(x + 1)](x2 + 1)(x4 + 1)
= (x2 ‒ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)
= [(x2 ‒ 1)(x2 + 1)](x4 + 1)
= [(x2)2 ‒ 12](x4 + 1)
= (x4 ‒ 1)(x4 + 1)
= (x4)2 ‒ 1 = x8 ‒ 1.
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b)2 ‒ (a – b)2 = 4ab;
a) (a + b)2 ‒ (a – b)2
= (a + b + a ‒ b)(a + b ‒ a + b)
= 2a.2b = 4ab.
b) a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab];
b) a3 + b3 = (a + b)(a2 ‒ ab + b2)
= (a + b)(a2 ‒ 2ab + b2 + ab)
= (a + b)[(a ‒b)2 + ab].
c)2(a – b)(a + b) + (a + b)2 + (a – b)2 = 4a2;
c)2(a – b)(a + b) + (a + b)2 + (a – b)2
= (a + b)2 + 2(a + b)(a – b)+ (a – b)2
= (a + b + a ‒ b)2 = (2a)2 = 4a2.
d) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
