Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình thang cân có đáp án

Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Do \(\widehat C = \widehat D\) nên tam giác ICD cân tại I. Suy ra ID = IC.

Mà AD = BC; ID = IA + AD; IC = IB + BC

Suy ra IA = IB.

Do đó, tam giác IAB cân tại I.

Xét DICD cân tại I có \(\widehat D = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).

Xét DIAB cân tại I có \(\widehat {IAB} = \widehat {IBA} = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).

Do đó \(\widehat {IAB} = \widehat D\), mà \(\widehat {IAB}\) và \(\widehat D\) nằm ở vị trí đồng vị

Suy ra AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và \(\widehat C = \widehat D\) nên ABCD là hình thang cân.

• Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC;

\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ABCD là hình thang cân);

CD là cạnh chung

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Tam giác PCD có \(\widehat {PCD} = \widehat {PDC}\) nên là tam giác cân tại P.

Suy ra PC = PD.

Mà AC = BD (do ∆ACD = ∆BDC);

      AC = AP + PC; BD = PD + BD

Suy ra PA = PB nên P nằm trên đường trung trực của AB (1)

• Do AB // CD nên \(\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các cặp góc đồng vị).

Mặt khác, \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ∆ACD = ∆BDC) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}\).

Do đó, tam giác QAB cân tại Q.

Suy ra QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB.

• Ta có: AD = BC và PA = PB suy ra QD = QC.

Do đó Q nằm trên đường trung trực của CD.

Mặt khác PC = PD (chứng minh trên) nên P cũng nằm trên đường trung trực của CD.

Suy ra PQ là đường trung trực của CD.

Vậy PQ là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD.

• Xét ∆ADM vuông tại M và ∆BCN vuông tại N có:

AD = BC;\(\widehat {ADM} = \widehat {BCN}\)(do ABCD là hình thang cân)

Do đó ∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = BN; DM = CN (các cặp cạnh tương ứng)

• Do AB // CD mà BN ⊥ CD nên BN ⊥ AB, do đó tam giác ABN vuông tại B.

Xét ∆ABN vuông tại B và ∆NMA vuông tại M có:

\(\widehat {BAN} = \widehat {MNA}\)(2 góc so le trong của AB // CD);

Cạnh AN chung

Do đó ∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = NM (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 3 cm nên NM = 3 cm.

• Ta có DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.

Suy ra DM = 1,5 cm.

Mà DN = DM + NM = 1,5 + 3 = 4,5 cm.

Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD² = AM² + DM².

Suy ra AM² = AD² ‒ DM² = 2,5² ‒ 1,5² = 4.

Vậy \(AM = \sqrt 4 = 2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Xét ∆AMN cân tại A có: \[\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Xét ∆ABC đều hay cũng cân tại A có \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\,\,\left( { = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}} \right)\]

Mà \(\widehat {AMN}\) và \(\widehat {ABC}\) nằm ở vị trí đồng vị, suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC và \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) nên BMNC là hình thang cân.

Do BM = MN nên tam giác MBN cân tại M. Suy ra \(\widehat {MNB} = \widehat {MBN}\).

Mà MN // BC nên \(\widehat {MNB} = \widehat {NBC}\) (hai góc so le trong), suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {NBC}\).

Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.

Tương tự, ta cũng chứng minh được CM là tia phân giác của góc ACB.

Dễ thấy, nếu các điểm M, N được xác định sao cho BN, CM lần lượt là tia phân giác của góc ABC, ACB thì BN = MN = CN.

Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB, N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN = MN = CN.

Tam giác đều ABC có AB = BC = AC = 6 cm; \(\widehat {BAC} = \widehat {CBA} = \widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {DAE} = 60^\circ \).

Tam giác ADE có AD = AE và \(\widehat {DAE} = 60^\circ \) nên ∆ADE là tam giác đều.

Suy ra \(\widehat {ADE} = 60^\circ \). Do đó \(\widehat {CBA} = \widehat {ADE}\) (vì cùng bằng 60°).

Mà \(\widehat {CBA}\) và \(\widehat {ADE}\) nằm ở vị trí so le trong, suy ra BC // DE.

Ta có: AB = AC và AD = AE, mà BD = AB + AD, CE = AC + AE

Suy ra BD = CE.

Tứ giác BCDE có BC // DE và BD = CE nên BCDE là hình thang cân.

Kẻ DH vuông góc với CE tại H.

Xét ∆ADH vuông tại H và ∆EDH vuông tại H có:

ED = AD (chứng minh câu a), cạnh DH chung

Do đó ∆ADH = ∆EDH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AH = EH (hai cạnh tương ứng)

Hay H là trung điểm của AE nên \(AH = EH = \frac{{AE}}{2} = \frac{2}{2} = 1{\rm{\;}}\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ADH vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH².

Suy ra DH² = AD² ‒ AH² = 2² ‒ 1² = 3.

Ta có: CH = AC + AH = 6 + 1 = 7 cm.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác CDH vuông tại H, ta có: CD² = CH² + DH².

Suy ra CD² = 7² + 3 = 49 + 3 = 52.

Vậy \(CD = \sqrt {52} \approx 7,2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).