Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Do \(\widehat C = \widehat D\) nên tam giác ICD cân tại I. Suy ra ID = IC.

Mà AD = BC; ID = IA + AD; IC = IB + BC

Suy ra IA = IB.

Do đó, tam giác IAB cân tại I.

Xét DICD cân tại I có \(\widehat D = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).

Xét DIAB cân tại I có \(\widehat {IAB} = \widehat {IBA} = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).

Do đó \(\widehat {IAB} = \widehat D\), mà \(\widehat {IAB}\) và \(\widehat D\) nằm ở vị trí đồng vị

Suy ra AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và \(\widehat C = \widehat D\) nên ABCD là hình thang cân.

• Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC;

\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ABCD là hình thang cân);

CD là cạnh chung

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Tam giác PCD có \(\widehat {PCD} = \widehat {PDC}\) nên là tam giác cân tại P.

Suy ra PC = PD.

Mà AC = BD (do ∆ACD = ∆BDC);

      AC = AP + PC; BD = PD + BD

Suy ra PA = PB nên P nằm trên đường trung trực của AB (1)

• Do AB // CD nên \(\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các cặp góc đồng vị).

Mặt khác, \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ∆ACD = ∆BDC) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}\).

Do đó, tam giác QAB cân tại Q.

Suy ra QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB.

• Ta có: AD = BC và PA = PB suy ra QD = QC.

Do đó Q nằm trên đường trung trực của CD.

Mặt khác PC = PD (chứng minh trên) nên P cũng nằm trên đường trung trực của CD.

Suy ra PQ là đường trung trực của CD.

Vậy PQ là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD.

• Xét ∆ADM vuông tại M và ∆BCN vuông tại N có:

AD = BC; \(\widehat {ADM} = \widehat {BCN}\) (do ABCD là hình thang cân)

Do đó ∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = BN; DM = CN (các cặp cạnh tương ứng)

• Do AB // CD mà BN ⊥ CD nên BN ⊥ AB, do đó tam giác ABN vuông tại B.

Xét ∆ABN vuông tại B và ∆NMA vuông tại M có:

\(\widehat {BAN} = \widehat {MNA}\) (2 góc so le trong của AB // CD);

Cạnh AN chung

Do đó ∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = NM (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 3 cm nên NM = 3 cm.

• Ta có DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.

Suy ra DM = 1,5 cm.

Mà DN = DM + NM = 1,5 + 3 = 4,5 cm.

Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD² = AM² + DM².

Suy ra AM² = AD² ‒ DM² = 2,5² ‒ 1,5² = 4.

Vậy \(AM = \sqrt 4 = 2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Xét ∆AMN cân tại A có: \[\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Xét ∆ABC đều hay cũng cân tại A có \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\,\,\left( { = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}} \right)\]

Mà \(\widehat {AMN}\) và \(\widehat {ABC}\) nằm ở vị trí đồng vị, suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC và \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) nên BMNC là hình thang cân.