Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 16. Hình thang cân có đáp án
23 câu hỏi
Ở lớp 6, phần Hình học trực quan, chúng ta đã được làm quen với hình thang cân và những vật thể có dạng hình thang cân, chẳng hạn, khung cửa sổ có dạng hình thang cân (Hình 21).
Hình thang cân có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thang cân?
Sau bài học này chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:
‒ Hình thang cân có những tính chất sau:
+ Hai cạnh đáy song song với nhau;
+ Hai cạnh bên bằng nhau;
+ Hai đường chéo bằng nhau.
‒ Dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thang cân:
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai góc kề một đáy bằng nhau;
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và có hai đường chéo bằng nhau.
Cho biết hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD ở Hình 22 có song song với nhau hay không.
Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD ở Hình 22 có song song với nhau.
Hai góc C và D cùng kề với đáy CD của hình thang ABCD ở Hình 23. Cho biết hai góc C và D có bằng nhau hay không.
Hai góc C và D cùng kề với đáy CD của hình thang ABCD ở Hình 23 bằng nhau.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD, E là giao điểm của AD và BC (Hình 25).
a) So sánh các cặp góc: EDC^ và ECD^; EAB^ và EBA^.
b) So sánh các cặp đoạn thẳng: EA và EB; ED và EC. Từ đó, hãy so sánh AD và BC.
b) • Xét tam giác EAB có EAB^=EBA^ (câu a) nên là tam giác cân tại E
Suy ra EA = EB.
• Xét tam giác EDC có EDC^=ECD^ (câu a) nên là tam giác cân tại E
Suy ra ED = EC.
• Ta có AD = ED – EA
BC = EC – EB.
Mặt khác EA = EB và ED = EC
Do đó AD = BC.
c) Hai tam giác ADC và BCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh AC và BD.
c) Xét ΔADC và ΔBCD có:
AD = BC (theo câu b);
ADC^=BCD^ (theo câu a);
DC là cạnh chung
Do đó ΔADC = ΔBCD (c.g.c)
Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng).
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Chứng minh ADB^=BCA^.
Do ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên AD = BC và AC = BD.
Xét ΔADB và ΔBCA có:
AB là cạnh chung;
AD = BC (chứng minh trên);
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó ΔADB = ΔBCA (c.c.c)
Suy ra ADB^=BCA^ (hai cạnh tương ứng).
Quan sát hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Kẻ BE song song với AC (E thuộc đường thẳng CD) (Hình 27).
a) Hai tam giác ABC và ECB có bằng nhau hay không?
b) So sánh các cặp góc: BED^ và BDE^; ACD^ và BED^.
b) Do ΔABC = ΔECB (theo câu a) nên AC = EB (hai cạnh tương ứng)
Mà AC = BD (giả thiết)
Suy ra BD = BE nên tam giác BDE là tam giác cân tại B.
Suy ra BDE^=BED^ (tính chất tam giác cân).
Do BE // AC nên ACD^=BED^ (đồng vị).
c) Hai tam giác ACD và BDC có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh ADC^ và BCD^.
d) ABCD có phải là hình thang cân hay không?
d) Hình thang ABCD có ADC^, BCD^ cùng kề với đáy DC và ADC^=BCD^ nên ABCD là hình thang cân.
Một ô cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chiều dài là 120 cm và chiều rộng là 80 cm. Người ta mở rộng ô cửa sổ đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô cửa sổ đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô cửa sổ đó sau khi mở rộng.
Giả sử ô cửa sổ được mô tả như hình vẽ dưới đây:
• Xét ΔAHD và ΔBKC có:
AHD^=BKC^=90°; AH = BK; HD = KC.
Do đó ΔAHD = ΔBKC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra ADH^=BCK^ (hai góc tương ứng).
• Xét tứ giác ABCD có AB // DC (do AB // HK) nên là hình thang.
Lại có ADH^=BCK^ (chứng minh trên)
Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân.
Vậy sau khi mở rộng thì ô cửa sổ đó có dạng hình thang cân.
• Ta có AB = HK = 80 cm.
DC = DH + HK + KC = 20 + 80 + 20 = 120 (cm).
Diện tích của ô cửa sổ sau khi mở rộng là:
S=12.AB+DC.AH=12.80+120.120=12 000 cm2.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).
Chứng minh:
a) TAD^=TBC^,TDA^=TCB^;
a) Do ABCD là hình thang cân nên AC = BD và AD = BC (tính chất hình thang cân).
Xét ΔADC và ΔBCD có:
AD = BC; AC = BD; DC là cạnh chung
Do đó ΔADC = ΔBCD (c.c.c)
Suy ra CAD^=DBC^ (hai góc tương ứng)
Hay TAD^=TBC^.
Chứng minh tương tự ta cũng có: ΔABD = ΔBAC (c.c.c)
Suy ra BDA^=ACB^ (hai góc tương ứng)
Hay TDA^=TCB^.
b) TA = TB, TD = TC;
b) Xét ΔTAD và ΔTBC có:
TAD^=TBC^; AD = BC; TDA^=TCB^.
Do đó ΔTAD = ΔTBC (g.c.g).
Suy ra TA = IB và TD = TC (các cặp cạnh tương ứng).
c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
c) • Do TA = TB nên tam giác TAB cân tại T.
ΔTAB cân tại T có TM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên TM ⊥ AB.
• Do TD = TC nên tam giác TCD cân tại T.
ΔTCD cân tại T có TN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TN là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên TN ⊥ CD.
• Do AB // CD, TM ⊥ AB, TN ⊥ CD nên T, M, N thẳng hàng
Hay MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
a) Do ΔABE, ΔBED, ΔBDC là các tam giác đều nên ABE^=EBD^=DBC^=60°
Do đó, ABC^=ABE^+EBD^+DBC^=60°+60°+60°=180°
Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.
b) Do ΔABE, ΔBED là các tam giác đều nên ABE^=BED^=60°
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // ED
Tứ giác ACDE có AC // ED nên là hình thang.
Mặt khác, EAC^=DCA^=60° (do ΔABE, ΔBDC là các tam giác đều)
Do đó hình thang ACDE là hình thang cân.
c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = NB < 12AB. Chứng minh tứ giác MNCD là hình thang cân.
Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.
Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (Hình 32) khi đầy nước có dạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC), H là hình chiếu của D trên đường thẳng AC
a) Chứng minh các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều.
b) Tính độ dài của DH, AC.
b) • Do ΔBCD là tam giác đều nên đường cao BH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác
Do đó H là trung điểm của BC nên HC=12BC=12.2=1 m.
Xét ΔDHC vuông tại H, theo định lí Pythagore có:
CD2 = HC2 + DH2
Suy ra DH2 = CD2 – HC2 = 22 – 12 = 3.
Do đó DH = 3 (m).
• Do ΔABE là tam giác đều nên AB = AE = 2 m.
Khi đó AC = AB + BC = 2 + 2 = 4 (m).
c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.
c) Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là:
SAEDC=12.ED+AC.DH=12.2+4.3=33 m2 .
