Đáp án đúng là: A

Tổng độ dài hai cạnh bên là: \(60 - 40 = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nên độ dài cạnh bên là: \(20:2 = 10\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy độ dài cạnh bên của hình thang đã cho bằng \(10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: A

Vì \(\widehat D = \widehat {{A_1}},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB,\;CD.\)

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang có một đáy là \(AB\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Mà \(AD \bot DC\) nên \(AD \bot AB.\) Vậy \[\widehat A = 90^\circ .\]

a) Sai.

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác).

\[\widehat B + \widehat D = 360^\circ  - \widehat A - \widehat C = 360^\circ  - 125^\circ  - 35^\circ  = 200^\circ .\] Vậy \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ .\]

b) Sai.

Vì \(\widehat B - \widehat D = 90^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat D + 90^\circ .\)

Mà \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ \] nên \[\widehat D + 90^\circ  + \widehat D = 200^\circ \] suy ra \(2\widehat D = 110^\circ .\) Vậy \(\widehat D = 55^\circ .\)

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat B = 55^\circ  + 90^\circ  = 145^\circ .\)

Kẻ \(Am\) là tia đối của tia \(AD.\)

Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {BAm} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BAm} = 180^\circ  - \widehat {DAB} = 180^\circ  - 125^\circ  = 55^\circ .\)

Vì \(\widehat {BAm} = \widehat {ADC}\left( { = 55^\circ } \right),\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

d) Sai.

Vì hình thang \(ABCD\) không có hai góc kề một đáy bằng nhau nên hình thang \(ABCD\) không phải là hình thang cân.

Đáp án: \(60\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat A = \widehat B,\;\widehat C = \widehat D.\)

Lại có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác)

\(\widehat A + \widehat A + \widehat C + \widehat C = 360^\circ \)

\(2\left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 360^\circ \)

\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ .\)

Mà \(\widehat A = 2\widehat C\) nên \(\widehat C + 2\widehat C = 180^\circ .\) Vậy \(\widehat C = 60^\circ .\)

Đáp án: \(40\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;AC = BD.\)

Vì chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(40\;{\rm{cm}}\) nên \(AB + BC + AC = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Suy ra: \(AB + AD + BD = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy chu vi tam giác \(ADB\) bằng \(40\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(9\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Vì \(AM \bot DC\) tại \(M\) nên \(\widehat {AMD} = \widehat {AMN} = 90^\circ .\) Vì \(BN \bot DC\) tại \(N\) nên \(\widehat {BNC} = \widehat {BNM} = 90^\circ .\)

Tam giác \(AMD\) và tam giác \(BNC\) có: \(\widehat {AMD} = \widehat {BNC} = 90^\circ ,\;AD = BC,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Do đó, \(\Delta AMD = \Delta BNC\;\left( {ch - gn} \right).\) Do đó, \(AM = BN,\;DM = NC.\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,BN\) (cùng vuông góc với \(DC\))  nên \(\widehat {MAN} = \widehat {BNA}\) (hai góc so le trong).

Tam giác \(AMN\) và tam giác \(NBA\) có: \(AM = BN,\;\widehat {MAN} = \widehat {BNA}\;\left( {cmt} \right),\;AN\) chung.

Do đó, \(\Delta AMN = \Delta NBA\;\left( {c - g - c} \right).\) Do đó, \(AB = MN = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(DM + MN + NC = 2DM + MN = CD.\)

Do đó, \(2DM + 6 = 12\) nên \(DM = 3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Suy ra: \(DN = DM + MN = 3 + 6 = 9\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(DM = 9\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(90\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;AC = BD,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\) có: \(AD = BC,\;AC = BD,\;AB\) chung.

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta BAC\;\left( {c - c - c} \right).\) Suy ra, \(\widehat {ABP} = \widehat {BAP}\) nên tam giác \(APB\) cân tại \(P.\)

Suy ra: \(AP = PB.\) Do đó, điểm \(P\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 1 \right).\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {QAB},\;\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các góc đồng vị).

Lại có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}.\) Do đó, tam giác \(QAB\) cân tại \(Q.\)

Suy ra \(QA = QB.\) Do đó, điểm \(Q\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(PQ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Suy ra: \(PQ \bot AB\) tại \(I.\) Vậy \(\widehat {QIB} = 90^\circ .\)

Đáp án: \(150\)

Kẻ \(Bk\) là tia đối của tia \(BC.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat C = \widehat {{B_2}}\) (hai góc đồng vị).

Ta có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat C + \widehat {{B_1}} = 180^\circ .\) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = 180^\circ  - \widehat C.\)

Theo giả thiết: \(\widehat {{B_1}} - \widehat C = 60^\circ \) nên \(180^\circ  - \widehat C - \widehat C = 60^\circ .\) Suy ra: \(\widehat C = 60^\circ .\) Do đó, \(\widehat {{B_1}} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ .\)

Lại có: \(\widehat C - \widehat D = 30^\circ \) nên \(\widehat D = 60^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ .\)

Ta có: \[\widehat A + \widehat {{B_1}} + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác)

Suy ra: \[\widehat A = 360^\circ  - \widehat {{B_1}} - \widehat C - \widehat D = 360^\circ  - 120^\circ  - 60^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ .\]

Vậy \[\widehat A = 150^\circ .\]