Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài tập cuối chương II có đáp án
8 câu hỏi
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là
A. x – 3 > 0.
B. x – 3 < 0.
C. x – 3 ≠ 0.
D. x – 3 = 0.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là x – 3 ≠ 0.
Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) tại x = 0,5 là
A. \(\frac{{22}}{{37}}\).
B. \(\frac{{22}}{{35}}\).
C. \(\frac{{24}}{{35}}\).
D. \(\frac{{24}}{{37}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) là 3 + x ≠ 0; 3 – x ≠ 0 hay x ≠ –3; x ≠ 3.
Ta có:\(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\)
\( = \frac{{1.\left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} + \frac{{1.\left( {3 + x} \right)}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}}\)
\( = \frac{{3 - x + 3 + x}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{6}{{9 - {x^2}}}\)
Ta thấy x = 0,5 thỏa mãn điều kiện xác định, do đó giá trị của M tại x = 0,5 là
\(M = \frac{6}{{9 - {{\left( {0,5} \right)}^2}}} = \frac{6}{{9 - \frac{1}{4}}} = \frac{{24}}{{35}}\).
Thương của phép chia phân thức \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\) là
A. \(\frac{{y - x}}{{3x}}\).
B. \(\frac{{x - y}}{{3{x^2}}}\).
C. \(\frac{{x - y}}{{3x}}\).
D. \(\frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:\(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\)
\( = \frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}.\frac{{2xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {{y^3} - {x^3}} \right).2xy}}{{6{x^3}y.\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right).2xy}}{{6{x^3}y.\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\)
\( = \frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại x = 5; y = 7;
b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\);
c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại x = –15; y = 5.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x2– y2 ≠ 0 và 2y ≠ 0
\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}\)
\( = \frac{y}{{x + y}}\)
Với x = 5; y = 7ta thấy x2– y2= 52 – 72 = –24 ≠ 0 và 2y = 2.7 = 14 ≠ 0.
Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7là:
\(A = \frac{y}{{x + y}} = \frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).
b) Ta có: 2x2 – xy = x(2x – y); y2 – 4x2 = (y – 2x)(y + 2x); 2x2 + xy = x(2x + y).
Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 0; 2x – y ≠ 0 và 2x + y ≠ 0.
\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\)
\[ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} + \frac{{8y}}{{\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 2x} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)
\[ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\]
\( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\)
\( = \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\).
Ta thấy \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của B tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là:
\[B = \frac{{2.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{2}} \right]}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}} \right]}} = \frac{{2.\frac{{ - 5}}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}.\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} = 20\].
c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y.
\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\)
\( = \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right] - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2{x^2} + xy}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)\( = \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{xy}} - \frac{x}{y}\)
\( = \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y} = \frac{{2x + y - x}}{y} = \frac{{x + y}}{y}\).
Ta thấy x = –15; y = 5thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó giá trị của biểu thức C tại x = –15; y = 5 là:
\(C = \frac{{ - 15 + 5}}{5} = \frac{{ - 10}}{5} = - 2\).
Cho biểu thức:
\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\).
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.
c*) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức D là: 3x ≠ 0; x + 1≠ 0; \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)
Xét 3x ≠ 0 ta có x ≠ 0.
Xét x + 1≠ 0 ta có x ≠ –1.
Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có 2 – 4x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0, hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và x ≠ –1.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức D là \(x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2}\).
b) Ta có:
\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x - 3.3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x.\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right).\left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x.2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)
\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).
Ta thấy x = 5 947 thỏa mãn điều kiện xác định
Do đó, giá trị của biểu thức D tại x = 5 947 là:
\(D = \frac{{5947 - 1}}{3} = \frac{{5946}}{3} = 1982\) .
c*) Để D nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{x - 1}}{3}\) phải nhận giá trị nguyên.
Suy ra (x ‒ 1)⋮ 3, tức là x ‒ 1 = 3k hay x = 3k + 1 với k ∈ ℤ (thoả mãn điều kiện xác định).
Cho biểu thức:
\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\).
a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x=0,1.
b*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: x ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 0; x ≠ ‒2.
Ta có:
\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.1 - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - x\left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
\( = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}} \right] - x\left( {x + 2} \right)\)
\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)
\( = \frac{{ - 2x}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)
\( = - 2 - {x^2} - 2x\)
Ta thấy x=0,1 thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó, giá trị của biểu thức S tại x=0,1 là:
S = ‒ 2 ‒0,12 ‒ 2.0,1 = –2 – 0,01 – 0,2 = ‒2,21.
b*) Ta có: S = ‒ 2 ‒x2 ‒ 2x = ‒ (x2 + 2x +1) ‒ 1 = ‒ (x + 1)2 ‒ 1.
Suy ra S đạt giá trị lớn nhất khi ‒ (x+1)2 ‒ 1 đạt giá trị lớn nhất.
Mà với mọi x, ta có (x + 1)2 ≥ 0 hay ‒ (x + 1)2 ‒ 1 ≤ ‒1.
Vậy giá trị lớn nhất của S là ‒1 khi (x + 1)2 = 0 hay x = ‒ 1 (thoả mãn điều kiện xác định).
Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B;
b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C;
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.
Lời giải
a) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi xuôi dòng từ bến A đến bến Blà: x + 4 (km/h).
Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).
b) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi ngược dòng từ bến B đến vị trí Clà: x – 4 (km/h).
Quãng đường ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là: 24 – 8 = 16 (km).
Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là: \(\frac{{16}}{{x - 4}}\)(giờ).
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là:
\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = \frac{{24\left( {x - 4} \right) + 16\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} - 16}}\)
\( = \frac{{24x - 96 + 16x + 64}}{{{x^2} - 16}} = \frac{{40x - 32}}{{{x^2} - 16}}\) (giờ).
Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ ℕ*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch;
b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế;
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.
Lời giải
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là:\(\frac{{600}}{x}\)(giờ)
b) Số khẩu trang tổ sản xuất may được trong mỗi giờ theo thực tế là: x + 20 (chiếc).
Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế là: \(\frac{{600}}{{x + 20}}\)(giờ).
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là:
\(\frac{{600}}{{x + 20}}:\frac{{600}}{x} = \frac{{600}}{{x + 20}}.\frac{x}{{600}} = \frac{x}{{x + 20}}\).
