20 câu trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Ôn tập chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Gồm 10 câu hỏi, hãy chọn phương án đúng duy nhất)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2 - x}}.\]
\[\frac{{3x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\]
\[\frac{{3x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\]
\[\frac{{3x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3x}}{{{{\left( { - x - 2} \right)}^2}}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\frac{{3x}}{{{{\left( { - x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{3x}}{{{{\left[ { - \left( {x + 2} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{3x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\].
Chọn khẳng định đúng.
\[\frac{X}{Y} = \frac{{ - X}}{Y}.\]
\[\frac{X}{Y} = \frac{{ - X}}{{ - Y}}.\]
\[\frac{X}{Y} = \frac{X}{{ - Y}}.\]
Cả ba đáp án trên đều đúng.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\frac{X}{Y} = \frac{{ - X}}{{ - Y}}.\]
Giá trị nào của \[x\] để phân thức \[\frac{{2x - 5}}{3} < 0\]?
\[x > \frac{5}{2}.\]
\[x < \frac{5}{2}.\]
\[x > \frac{{ - 5}}{2}.\]
\[x > 5.\]
Đáp án đúng là: B
Để \[\frac{{2x - 5}}{3} < 0\] thì \[2x - 5 < 0\] suy ra \[x < \frac{5}{2}.\]
Phân thức nào sau đây bằng với phân thức \[\frac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}}\]?
\[\frac{{ - {x^2} + 3x}}{{3x - 9}}.\]
\[\frac{{{x^2}}}{3}.\]
\[\frac{{ - {x^3} - {x^2}}}{{3x + 3}}.\]
\[\frac{{ - 2{x^3}}}{{6x}}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\frac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{ - 3\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - x}}{3}.\]
Xét các đáp án, ta có;
\[\frac{{ - {x^2} + 3x}}{{3x - 9}} = \frac{{ - x\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - x}}{3}.\]
\[\frac{{ - {x^3} - {x^2}}}{{3x + 3}} = \frac{{ - {x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - {x^2}}}{3}\].
\[\frac{{ - 2{x^3}}}{{6x}} = \frac{{ - {x^2}}}{3}\].
Cho \[\frac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \frac{{4x + 7}}{{x + 3}}\]. Khi đó đa thức \[A\] là
\[A = {x^2} + 2x - 3.\]
\[A = {x^2} + 2x + 3.\]
\[A = {x^2} - 2x - 3.\]
\[A = {x^2} + 2x.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\frac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \frac{{4x + 7}}{{x + 3}}\] nên \[A = \frac{{\left( {4{x^2} + 3x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}}\]
Suy ra \[A = \frac{{\left( {4x + 7} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}}\]
\[A = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\]
\[A = {x^2} + 2x - 3\].
Do đó, chọn đáp án A.
Tính tổng sau: \[A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + .... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\].
\[A = 1.\]
\[A = 0.\]
\[A = \frac{1}{2}.\]
\[A = \frac{{99}}{{100}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + .... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]
\[A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]
\[A = 1 - \frac{1}{{100}}\]
\[A = \frac{{99}}{{100}}\].
Trong các cặp phân thức sau cặp phân thức nào bằng nhau?
\(\frac{{{x^2} - 2}}{{5\left( {x + 2} \right)}}\) và \(\frac{{x - 2}}{5}\).
\(\frac{{7{y^2}}}{5}\) và \(\frac{{3x{y^2}}}{{2x}}.\)
\(\frac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{3\left( {5 - x} \right)}}\) và \(\frac{{2x}}{3}.\)
\(\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}.\)
Đáp án đúng là: D
Nhận thấy \(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\).
Do đó, hai phân thức \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) và \(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\) bằng nhau.
Kết quả của phép tính \(\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}}\) là
\(\frac{{ - 1}}{{xy}}.\)
\(\frac{1}{{xy}}.\)
\(\frac{{ - 3x - 2}}{{3{x^2}y}}.\)
\(\frac{1}{{{x^2}y}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{4x - 1 - 7x + 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 3x}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 1}}{{xy}}\).
Thương của phép chia \(\frac{{3{x^4}}}{{25{y^5}}}:\frac{{6{x^2}}}{{5{y^4}}}\) là
\(\frac{{{y^2}}}{{10x}}.\)
\(\frac{{2{x^2}}}{{5y}}.\)
\(\frac{{{x^2}}}{{10y}}.\)
\(\frac{{3{x^2}}}{{5y}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{3{x^4}}}{{25{y^5}}}:\frac{{6{x^2}}}{{5{y^4}}} = \frac{{3{x^4}}}{{25{y^5}}} \cdot \frac{{5{y^4}}}{{6{x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{10y}}\).
Giá trị của phân thức \(\frac{{x - 5}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\) tại \(x = 4\) là
\( - \frac{9}{8}.\)
\(\frac{9}{8}.\)
\( - \frac{1}{8}.\)
\(\frac{1}{8}.\)
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 4\) vào \(\frac{{x - 5}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\), ta được: \(\frac{{4 - 5}}{{2 \cdot 4\left( {4 - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{8}\).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
(Gồm 5 câu hỏi, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d))
Một tàu từ Hải Phòng tới Huế, sau đó nghỉ lại tại Huế 2 giờ trước khi quay trở lại Hải Phòng. Quãng đường từ Hải Phòng tới Huế là \(660{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Vận tốc của dòng nước là \(5{\rm{ km/h}}\). Gọi vận tốc thực của tàu là \(x{\rm{ km/h}}\).
a) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Hải Phòng tới Huế là \(\frac{{660}}{{x + 5}}\) giờ.
b) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Huế tới Hải Phòng là \(\frac{{660}}{{x - 5}}\) giờ.
c) Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu quay trở về Hải Phòng là \(\frac{{660}}{{x - 5}} + \frac{{660}}{{x + 5}}\) giờ.
d) Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng là 27 giờ khi vận tốc lúc ngược dòng của tàu là \(50{\rm{ km/h}}{\rm{.}}\)
a) Đúng.
Vận tốc xuôi dòng của tàu là \(x + 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Do đó, thời gian xuôi dòng của tàu từ Hải Phòng tới Huế là \(\frac{{660}}{{x + 5}}\) giờ.
b) Đúng.
Vận tốc ngược dòng của tàu là \(x - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Do đó, thời gian ngược dòng của tàu từ Huế về Hải Phòng là \(\frac{{660}}{{x - 5}}\) giờ.
c) Sai.
Vì tàu nghỉ tại huế 2 giờ rồi mới quay về Hải Phòng nên thời gian kể từ lúc xuất phát cho đến khi tàu trở lại Hải Phòng là: \(\frac{{660}}{{x - 5}} + \frac{{660}}{{x + 5}} + 2\) (giờ).
d) Sai
Vận tốc ngược dòng của tàu là 50 km/h nên vận tốc thực của tàu là: \(50 + 5 = 55{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Do đó, thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng khi vận tốc lúc ngược dòng của tàu là \(50{\rm{ km/h}}\) là: \(\frac{{660}}{{55 - 5}} + \frac{{660}}{{55 + 5}} + 2 = 26,2\) (giờ).
Cho \(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\).
a) Điều kiện xác định của \(K\) là \(x \ne 0,x \ne 1\).
b) \(K = 1 + \frac{{2023}}{x}.\)
c) Có bốn giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên.
d) Tổng các giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên là \(2024\).
a) Sai
Điều kiện xác định của \(K\) là: \(x - 1 \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;{\rm{ }}{x^2} - 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\).
Do đó, \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne - 1\).
b) Đúng
Với \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne - 1\), ta có:
\(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \left[ {\frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \frac{{x + 2003}}{x}\)
\(K = \frac{x}{x} + \frac{{2003}}{x}\)
\(K = 1 + \frac{{2023}}{x}.\)
c) Đúng.
Ta có: \(K = 1 + \frac{{2023}}{x}\) nên để \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{2023}}{x}\) đạt giá trị nguyên.
Suy ra \(2003 \vdots x\) hay \(x\) là Ư(2003).
Suy ra \(x \in \left\{ { - 2003;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2003} \right\}\).
Vậy có bốn giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên.
d) Sai.
Tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(K\) nhận giá trị nguyên là: \( - 2003 + \left( { - 1} \right) + 1 + 2003 = 0\).
Cho \(B = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}}\).
a) Điều kiện xác định của \(B\) là \(x \ne 0\).
b) \(B = 1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}}\).
c) Giá trị nhỏ nhất của \(B\) bằng \( - \frac{4}{3}\).
d) Giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(1.\)
a) Sai.
Nhận thấy \({x^2} + 3 > 0\) với mọi \(x\) nên \(B\) xác định với mọi \(x.\)
b) Đúng.
Ta có: \(B = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 3}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} = 1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}}\).
c) Đúng.
Ta có: \(B + \frac{4}{3} = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} + \frac{4}{3} = \frac{{3\left( {4x - 1} \right) + 4\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{4{x^2} + 12x + 9}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}}\)
Nhận thấy \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} \ge 0\) với mọi \(x.\)
Suy ra \(B + \frac{4}{3} \ge 0\) với mọi \(x.\)
Do đó, \(B \ge - \frac{4}{3}\) với mọi \(x.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) bằng \( - \frac{4}{3}\).
d) Đúng.
Nhận thấy \( - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 0\) với mọi \(x.\)
Do đó, \(1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 1\) với mọi \(x.\)
Suy ra \(B \le 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(1.\)
Một đội máy xúc nhận nhiệm vụ xúc \(11{\rm{ }}600{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) đất. Giai đoạn đầu, đội chỉ xúc được \(5{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) với năng suất trung bình của máy xúc là \(x{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)/ngày. Giai đoạn sau, năng suất làm việc của máy xúc tăng được \(25{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)/ngày. Khi đó:
a) Thời gian xúc \(5{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) ở giai đoạn đầu tiên là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x}\) ngày.
b) Thời gian làm nốt phần việc còn lại ở giai đoạn sau là \(\frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) ngày.
c) Tổng thời gian hoàn thành công việc là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x} + \frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) ngày.
d) Tổng thời gian hoàn thành công việc là 40 ngày khi năng suất trung bình của máy xúc là \(250{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)/ngày.
a) Đúng
Thời gian xúc \(5{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) ở giai đoạn đầu tiên là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x}\) ngày.
b) Đúng.
Sau giai đoạn đầu, phần việc còn lại là: \(11{\rm{ }}600 - 5{\rm{ }}000 = 6{\rm{ }}600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Năng suất của máy xúc ở giai đoạn sau là: \(x + 25{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Thời gian làm nốt phần việc còn lại ở giai đoạn sau là \(\frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) ngày.
c) Đúng.
Tổng thời gian để hoàn thành công việc là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x} + \frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) (ngày).
d) Sai.
Khi năng suất trung bình của máy xúc là \(250{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)/ngày thì tổng thời gian để hoàn thành công việc là:
\(\frac{{5{\rm{ }}000}}{{250}} + \frac{{6{\rm{ }}600}}{{250 + 25}} = 44\) (ngày).
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\).
a) Điều kiện xác định của \(A\) là \(x \ne \pm 2\).
b) Thu gọn được \(A = \frac{3}{{x - 2}}.\)
c) Giá trị của \(A = - 1\) tại \(x = 5\).
d) Có 4 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.
a) Đúng
Điều kiện xác định của \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).
Do đó, \(x \ne \pm 2\).
b) Sai
Với \(x \ne \pm 2\), ta có: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\)
\( = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2 \cdot \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)\)
\( = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}:\frac{2}{{x + 2}}\)
\( = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)
\( = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\).
c) Đúng
Tại \(x = 5\), thay vào \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\), ta được: \(A = \frac{{ - 3}}{{5 - 2}} = \frac{{ - 3}}{3} = - 1\).
d) Đúng
Để \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), suy ra \( - 3 \vdots \left( {x - 2} \right)\) hay \(x - 2\) phải là ước của \( - 3\).
Do đó, \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 3} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}5} \right\}\).
Do đó, có 4 giá trị nguyên thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
(Gồm 5 câu hỏi, hãy viết câu trả lời/đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết)
Kết quả của biểu thức \(A = \frac{{11x - 4}}{{x - 1}} + \frac{{10x + 4}}{{2 - 2x}}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 6
Ta có: \(A = \frac{{11x - 4}}{{x - 1}} + \frac{{10x + 4}}{{2 - 2x}} = \frac{{2\left( {11x - 4} \right)}}{{2x - 2}} - \frac{{10x + 4}}{{2x - 2}} = \frac{{22x - 8 - 10x - 4}}{{2x - 2}} = \frac{{12x - 12}}{{2x - 2}} = \frac{{12\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = 6\).
Tính tổng các giá trị nguyên của \(x\) để \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên.
Đáp án: 1
Điều kiện xác định: \(2x - 1 \ne 0\) nên \(x \ne \frac{1}{2}\).
Ta có: \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}} = \frac{{ - 4x + 2 - 2}}{{2x - 1}} = \frac{{ - 2\left( {2x - 1} \right) - 2}}{{2x - 1}} = - 2 - \frac{2}{{2x - 1}}\).
Để \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên.
Suy ra \(2x - 1 \in \)Ư(2) hay \(2x - 1 \in \left\{ { - 2;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right\}\).
Suy ra \(x \in \left\{ { - \frac{1}{2};{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{3}{2}} \right\}\).
Mà theo đề, \(x \in \mathbb{Z}\) nên các giá trị thỏa mãn là 0; 1.
Vậy tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(0 + 1 = 1\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên dương?
Đáp án: 4
Điều kiện xác định: \(x + 3 \ne 0\) nên \(x \ne - 3\).
Ta có: \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 9 - 9}}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right) - 9}}{{x + 3}} = 3 - \frac{9}{{x + 3}}\).
Để \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{9}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên.
Suy ra \(x + 3 \in \)Ư(9) hay \(x + 3 \in \left\{ { - 9;{\rm{ }} - 3;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}9} \right\}\).
Suy ra \(x \in \left\{ { - 12;{\rm{ }} - 6;{\rm{ }} - 4;{\rm{ }} - 2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}6} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x\) | −12 | −6 | −4 | −2 | 0 | 6 |
\(P\) | 4 | 6 | 12 | −6 | Không xác định | 2 |
Vậy các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên dương là \(\left\{ { - 12; - 6; - 4;6} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho \(3y - x = 6.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}.\)
Đáp án: 4
Có \(3y - x = 6\) nên \(x = 3y - 6\).
Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}},\) ta được:
\(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}}\)
\( = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}}\)
\( = 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}}\)
\( = 3 + 1 = 4\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{{2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 2x + 4}}\). (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Đáp án: 2,3
Ta có: \(A = \frac{{2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}}\).
Nhận thấy \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), do đó \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{1}{3}\).
Suy ra \(2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le 2 + \frac{1}{3}\) hay \(A \le \frac{7}{3}\).
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = - 1\).
Vậy GTLN của \(A = \frac{7}{3} \approx 2,3\) khi \(x = - 1\).
