Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{4x - 1 - 7x + 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 3x}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 1}}{{xy}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\frac{{3{x^4}}}{{25{y^5}}}:\frac{{6{x^2}}}{{5{y^4}}} = \frac{{3{x^4}}}{{25{y^5}}} \cdot \frac{{5{y^4}}}{{6{x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{10y}}\).

Đáp án đúng là: C

Thay \(x = 4\) vào \(\frac{{x - 5}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\), ta được: \(\frac{{4 - 5}}{{2 \cdot 4\left( {4 - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{8}\).

a) Đúng.

Vận tốc xuôi dòng của tàu là \(x + 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Do đó, thời gian xuôi dòng của tàu từ Hải Phòng tới Huế là \(\frac{{660}}{{x + 5}}\) giờ.

b) Đúng.

Vận tốc ngược dòng của tàu là \(x - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Do đó, thời gian ngược dòng của tàu từ Huế về Hải Phòng là \(\frac{{660}}{{x - 5}}\) giờ.

c) Sai.

Vì tàu nghỉ tại huế 2 giờ rồi mới quay về Hải Phòng nên thời gian kể từ lúc xuất phát cho đến khi tàu trở lại Hải Phòng là: \(\frac{{660}}{{x - 5}} + \frac{{660}}{{x + 5}} + 2\) (giờ).

d) Sai

Vận tốc ngược dòng của tàu là 50 km/h nên vận tốc thực của tàu là: \(50 + 5 = 55{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Do đó, thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng khi vận tốc lúc ngược dòng của tàu là \(50{\rm{ km/h}}\) là: \(\frac{{660}}{{55 - 5}} + \frac{{660}}{{55 + 5}} + 2 = 26,2\) (giờ).

a) Sai

Điều kiện xác định của \(K\) là: \(x - 1 \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;{\rm{ }}{x^2} - 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\).

Do đó, \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\).

b) Đúng

Với \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\), ta có:

\(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{x}{x} + \frac{{2003}}{x}\)

\(K = 1 + \frac{{2023}}{x}.\)

c) Đúng.

Ta có: \(K = 1 + \frac{{2023}}{x}\) nên để \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{2023}}{x}\) đạt giá trị nguyên.

Suy ra \(2003 \vdots x\) hay \(x\) là Ư(2003).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 2003;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2003} \right\}\).

Vậy có bốn giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên.

d) Sai.

Tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(K\) nhận giá trị nguyên là: \( - 2003 + \left( { - 1} \right) + 1 + 2003 = 0\).

a) Sai.

Nhận thấy \({x^2} + 3 > 0\) với mọi \(x\) nên \(B\) xác định với mọi \(x.\)

b) Đúng.

Ta có: \(B = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 3}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} = 1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}}\).

c) Đúng.

Ta có: \(B + \frac{4}{3} = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} + \frac{4}{3} = \frac{{3\left( {4x - 1} \right) + 4\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{4{x^2} + 12x + 9}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}}\)

Nhận thấy \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Suy ra \(B + \frac{4}{3} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(B \ge  - \frac{4}{3}\) với mọi \(x.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) bằng \( - \frac{4}{3}\).

d) Đúng.

Nhận thấy \( - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 1\) với mọi \(x.\)

Suy ra \(B \le 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(1.\)

a) Đúng

Thời gian xúc \(5{\rm{ }}000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) ở giai đoạn đầu tiên là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x}\) ngày.

b) Đúng.

Sau giai đoạn đầu, phần việc còn lại là: \(11{\rm{ }}600 - 5{\rm{ }}000 = 6{\rm{ }}600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Năng suất của máy xúc ở giai đoạn sau là: \(x + 25{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Thời gian làm nốt phần việc còn lại ở giai đoạn sau là \(\frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) ngày.

c) Đúng.

Tổng thời gian để hoàn thành công việc là \(\frac{{5{\rm{ }}000}}{x} + \frac{{6{\rm{ }}600}}{{x + 25}}\) (ngày).

d) Sai.

Khi năng suất trung bình của máy xúc là \(250{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)/ngày thì tổng thời gian để hoàn thành công việc là:

\(\frac{{5{\rm{ }}000}}{{250}} + \frac{{6{\rm{ }}600}}{{250 + 25}} = 44\) (ngày).

a) Đúng

Điều kiện xác định của \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0;{\rm{ }}x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\).

Do đó, \(x \ne  \pm 2\).

b) Sai

Với \(x \ne  \pm 2\), ta có: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{2}{{2 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2 \cdot \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)\)

                                  \( = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}:\frac{2}{{x + 2}}\)

                                 \( = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}\)

                                 \( = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\).

c) Đúng

Tại \(x = 5\), thay vào \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\), ta được: \(A = \frac{{ - 3}}{{5 - 2}} = \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\).

d) Đúng

Để \(A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), suy ra \( - 3 \vdots \left( {x - 2} \right)\) hay \(x - 2\) phải là ước của \( - 3\).

Do đó, \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 3} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}5} \right\}\).

Do đó, có 4 giá trị nguyên thỏa mãn để \(A\) có giá trị là số nguyên.

Đáp án: 6

Ta có: \(A = \frac{{11x - 4}}{{x - 1}} + \frac{{10x + 4}}{{2 - 2x}} = \frac{{2\left( {11x - 4} \right)}}{{2x - 2}} - \frac{{10x + 4}}{{2x - 2}} = \frac{{22x - 8 - 10x - 4}}{{2x - 2}} = \frac{{12x - 12}}{{2x - 2}} = \frac{{12\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = 6\).

Đáp án: 1

Điều kiện xác định: \(2x - 1 \ne 0\) nên \(x \ne \frac{1}{2}\).

Ta có: \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}} = \frac{{ - 4x + 2 - 2}}{{2x - 1}} = \frac{{ - 2\left( {2x - 1} \right) - 2}}{{2x - 1}} =  - 2 - \frac{2}{{2x - 1}}\).

Để \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên.

Suy ra \(2x - 1 \in \)Ư(2) hay \(2x - 1 \in \left\{ { - 2;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right\}\).

Suy ra \(x \in \left\{ { - \frac{1}{2};{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{3}{2}} \right\}\).

Mà theo đề, \(x \in \mathbb{Z}\)  nên các giá trị thỏa mãn là 0; 1.

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(0 + 1 = 1\).

Đáp án: 4

Điều kiện xác định: \(x + 3 \ne 0\) nên \(x \ne  - 3\).

Ta có: \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 9 - 9}}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right) - 9}}{{x + 3}} = 3 - \frac{9}{{x + 3}}\).

Để \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{9}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên.

Suy ra \(x + 3 \in \)Ư(9) hay \(x + 3 \in \left\{ { - 9;{\rm{ }} - 3;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}9} \right\}\).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 12;{\rm{ }} - 6;{\rm{ }} - 4;{\rm{ }} - 2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}6} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(P = \frac{{3x}}{{x + 3}}\) đạt giá trị nguyên dương là \(\left\{ { - 12; - 6; - 4;6} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 4

Có \(3y - x = 6\) nên \(x = 3y - 6\).

Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}},\) ta được:

\(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}}\)

    \( = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}}\)

    \( = 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}}\)

   \( = 3 + 1 = 4\).

Đáp án: 2,3

Ta có: \(A = \frac{{2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 2x + 4}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 1}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 4}} = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}}\).

Nhận thấy \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), do đó \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{1}{3}\).

Suy ra \(2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3}} \le 2 + \frac{1}{3}\) hay \(A \le \frac{7}{3}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) hay \(x =  - 1\).

Vậy GTLN của \(A = \frac{7}{3} \approx 2,3\) khi \(x =  - 1\).