Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương II có đáp án

Đáp án đúng là: D

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {AB} \) = (2 – 1; 2 – 1; 1 – (−2)) = (1; 1; 3).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow b \) = (−2; −4; 6) = −2(1; 2; −3) = −2\(\overrightarrow a \).

Vậy \(\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {OA} \) = (2; 0; 1); \(\overrightarrow {OB} \) = (0; 5; −1).

\(\overrightarrow {OA} \).\(\overrightarrow {OB} \) = 2.0 + 0.5 + 1.(−1) = −1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j \) = \(2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow a \) = (2; −3; 1).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow a \) = (−1; 1; 0) ⇒ \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \).

           \(\overrightarrow c \) = (1; 1; 1) ⇒ \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

        \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = −1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 suy ra \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).

        \(\overrightarrow c .\overrightarrow b \) = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 ≠ 0 do đó \(\overrightarrow c \) không vuông góc với \(\overrightarrow b \).

Chọn D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3.5 + 4.0 + 0.12}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {0^2}} .\sqrt {{5^2} + {0^2} + {{12}^2}} }} = - \frac{3}{{13}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow i \) = (1; 0; 0) và \(\overrightarrow u \) = \(\left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\).

cos\(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right) = \frac{{\overrightarrow i .\overrightarrow u }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 0.0 + 0.1}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} }}\) = \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right)\) = 150°.

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) = (m; 2; 3) và \(\overrightarrow b \) = (1; n; 2) cùng phương khi \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = k.1\\2 = k.n\\3 = k.2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = k\\n = \frac{2}{k}\\k = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Để hai vectơ vuông góc với nhau khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = 0 ⇔ 2.0 + 1.2m + (−2).(−4) = 0 ⇔ m = −4.

Đáp án đúng là: A

Gọi I(x; y; z), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\\z = \frac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\end{array} \right.\)⇒ I(1; 1; 0).

Đáp án đúng là: D

Ta có: 2\(\overrightarrow a \) = (2; 2; −4).

\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) = (5; 2; −3).

Gọi M(x; y; z), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 0 = 5\\y - 2 = 2\\z - 1 = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\)⇒ M(5; 4; −2).

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là N(0; −1; 1).

Đáp án đúng là: A

M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) do đó M'(−3; 2; 1).

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là (0; 0; −1).

Đáp án đúng là: C

A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy nên A'(3; 1; −2).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {D'C'} \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {D'C'}  + \overrightarrow {D'C'}  = 2\overrightarrow {D'C'} \).

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \).

d) Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD'}  = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) = 0 + 2.2.cos45° = \(2\sqrt 2 \).

a) Ta có: A(3; −2; 4) ⇒ \(\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = \(\left( {2;2;3} \right)\).

c) Ta có: y_B = 0 do đó điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) Ta có: B(5; 0; 7) ⇒ \(\overrightarrow {OB} \) = (5; 0; 7) ⇒ \(2\overrightarrow {OB} \) = (10; 0; 14).

a) Ta có: \(\overrightarrow a \) = (2; 1; 5) ⇒ \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {30} \).

b) Để \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) cùng phương thì \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \) suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = k.5\\1 = k.0\\5 = k\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{2}{5}\\k = 0\\k = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\), do đó không có giá trị k thỏa mãn.

Do đó, \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương.

c) Ta có: \(\overrightarrow a \) = (2; 1; 5) và \(\overrightarrow b \) = (5; 0; −2) ⇒ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) = (2 + 5; 1 + 0; 5 + (−2)) = (7; 1; 3).

d) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = 2.5 + 1.0 + 5.(−2) = 0.

a) Cường độ của lực \(\overrightarrow F = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {9^2}} \)= \(\sqrt {133} \) N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là: \(\left| {\overrightarrow d } \right| = \sqrt {{{20}^2} + {{50}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt {30} \) m.

c) Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) khi thực hiện độ dời \(\overrightarrow d \) là:

A = \(\overrightarrow F \).\(\overrightarrow d \) = 4.20 + 6.50 + 9.10 = 470 (N).

d) Ta có: cos\(\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow F .\overrightarrow d }}{{\left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|}} = \frac{{4.20 + 6.50 + 9.10}}{{\sqrt {133} .10\sqrt {30} }} = \frac{{470}}{{10\sqrt {3990} }}\).

Ta có: \(\overrightarrow b \) = (8; 4; 20) = 4(2; 1; 5) = \(4\overrightarrow a \).

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng hay hai vật đang chuyển động cùng hướng.

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = 2.8 + 1.4 + 5.20 = 120.

Ta có: cos\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{120}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} .\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{20}^2}} }} = 1\).

Ta có: \(3\overrightarrow a \) = (0; 3; 9), \(4\overrightarrow b \) = (−8; 12; 4).

\(2\overrightarrow x  + 3\overrightarrow a  = 4\overrightarrow b \) ⇔ \(2\overrightarrow x  = 4\overrightarrow b  - 3\overrightarrow a  = ( - 8;9; - 5)\).

⇒ \(\overrightarrow x \) = \(\left( { - 4;\frac{9}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\).

Ta có: \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \) = (m – 2n; n; −2m + 3n).

Để \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \overrightarrow c \) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2n =  - 4\\n = 3\\ - 2m + 3n = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = 2\end{array} \right.\).

Vậy n = 3 và m = 2.

Ta có: \(2\overrightarrow a \) = (4; 2m + 2; −2) nên \(2\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) = (3; 2m + 5; −4).

            \(\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\) = 3.1 + (2m + 5).(−3) + 2.(−4) = −6m – 20.

Theo đề, ta có: \(\left| {\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)} \right| = 4\) ⇒ \(\left| { - 6m - 20} \right| = 4\) ⇒\(\left[ \begin{array}{l} - 6m - 20 = 4\\ - 6m - 20 =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m =  - \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Do m ∈ ℤ nên m = −4.

Để hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương thì \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow v \).

Suy ra, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = k.0\\ - 2 = k\left( {m - 2} \right)\\m + 1 = k.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\k = 0\end{array} \right.\).

Vậy m = 0.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−12; 6; 0), \(\overrightarrow {AM} \) = (2m – 3; 3; n – 1).

Để A, B, M thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AM} \).

Suy ra, ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 12 = k\left( {2m - 3} \right)\\6 = k.3\\0 = k\left( {n - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m =  - \frac{3}{2}\\n = 2\end{array} \right.\).

Vậy n = 2, m = \( - \frac{3}{2}\).

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\sqrt 3 .3.\cos 30^\circ = 9\).

Có: \(\left| {3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {9{{\overrightarrow a }^2} - 12\overrightarrow a .\overrightarrow b + 4{{\overrightarrow b }^2}} = \sqrt {9.12 - 12.9 + 4.9} = 6\).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = 3\).

Theo đề, \(\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|\) = 4 ⇔ \({\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\overrightarrow v  + {\overrightarrow v ^2}\) ⇒ \(2\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow v ^2} - {\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|^2} =  - 6\).

Khi đó, \({\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow v ^2} + 2\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 9 + 1 - 6 = 4\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| = \sqrt 4  = 2\).

Vẽ tam giác đều ABC và M là trung điểm BC.

Ta chọn \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {BM} \) thỏa mãn giá thiết bài toán.

Suy ra \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {MA} \).

Khi đó, \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MA} } \right)\) = 90°.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−2; 2; 0), \(\overrightarrow {AC} \) = (−1; 3; −3).

Gọi D(x; y; z).

Theo giả thiết, ta có:

\(\overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC} \) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 =  - 7\\y - 4 = 13\\z - 2 =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y = 17\\z =  - 7\end{array} \right.\).

Vậy D(−10; 17; −7).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow {OA} \) = (1; 1; 1) ⇒ A(1; 1; 1).

           \(\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k \)⇒ \(\overrightarrow {OB} \) = (5; 1; −1) ⇒ B(5; 1; −1).

           \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \) ⇒ \(\overrightarrow {BC} \) = (2; 8; 3).

Gọi C(x; y; z), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 2\\y - 1 = 8\\z - \left( { - 1} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\\z = 2\end{array} \right.\) ⇒ C(7; 9; 2).

Gọi D(a; b; c). Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 2\\b - 1 = 8\\c - 1 = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 8\\c = 4\end{array} \right.\).

Vậy D(3; 9; 4).

Gọi H(x; y; z).

Ta có: \(\overrightarrow {AH} \) = (x; y; z – 1), \(\overrightarrow {BC} \) = (3; 3; −1), \(\overrightarrow {BH} \) = (x + 1; y + 2; z).

H là chân đường cao hạ từ A xuống BC ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BH} {\rm{ cu{\o}ng ph\"o \^o ng}}\end{array} \right.\).

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x.3 + y.3 + \left( {z - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\\\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{{19}}\\y = - \frac{{14}}{{19}}\\z = - \frac{8}{{19}}\end{array} \right.\).

Vậy H\(\left( {\frac{5}{{19}}; - \frac{{14}}{{19}}; - \frac{8}{{19}}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {C'G} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi G(x; y; z), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\y = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{4}{3}\\z = \frac{{3 + 1 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)⇒ G\(\left( {2;\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

Gọi A(x_A; y_A; 0) ∈ (Oxy) và B(0; 0; z_B) ∈ Oz.

Vì G(−1; 1; 2) là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{{x_A} + 0 + \left( { - 2} \right)}}{3}\\1 = \frac{{{y_A} + 0 + 2}}{3}\\2 = \frac{{0 + {z_B} + 2}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 1\\{y_A} = 1\\{z_B} = 4.\end{array} \right.\)

Vậy A(−1; 1; 0), B(0; 0; 4).

Gọi D là chân đường phân giác trong của góc B.

Ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{3}{{15}}\) ⇒ \(\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {DC} \) ⇒ D(0; 0; 3).

Khi đó, \(\overrightarrow {BD} \) = (−4; 0; 2) ⇒ BD = \(\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} \) = \(2\sqrt 5 \).

Vậy BD = \(2\sqrt 5 \).

Vì M(a; b; c) ∈ (Oxz) nên b = 0.

M cách đều ba điểm A, B, C ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right.\).

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - c} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{6}\\c =  - \frac{7}{6}\end{array} \right.\).

Suy ra a + b + c = \(\frac{5}{6} + \left( { - \frac{7}{6}} \right) + 0\) = \( - \frac{1}{3}\).

Ta có: cos\(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{90.60 + \left( { - 80} \right).\left( { - 50} \right) + \left( { - 120} \right).\left( { - 60} \right)}}{{\sqrt {{{90}^2} + {{\left( { - 80} \right)}^2} + {{\left( { - 120} \right)}^2}} .\sqrt {{{60}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} }}\) ≈ 0,991.

Vậy \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\) ≈ 7,5°.

Công sinh bởi lực \(\overrightarrow P \) khi thực hiện độ dời \(\overrightarrow d \) là:

A = \(\overrightarrow P \).\(\overrightarrow d \) = 0.0 + 0.(−8) + (−10).(−150) = 1500 (J).