20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ nào sau đây là vectơ đối của \(\overrightarrow {AB} \)?
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {A'B'} \).
\(\overrightarrow {D'C'} \).
\(\overrightarrow {C'D'} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) là hai vectơ cùng phương, cùng độ dài nhưng ngược hướng nên hai vectơ trên là hai vectơ đối nhau.
90°.
60°.
45°.
30°.
Ta có AA' ^ (ABCD) nên AA' ^ CD. Vậy \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
1.
−1.
0.
2.
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 1.1.\cos 180^\circ = - 1\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−5; 2; 3), I(2; 3; 1). Gọi N là điểm đối xứng với M qua I. Tính độ dài đoạn ON.
\(ON = 6\sqrt 2 \).
\(ON = 5\sqrt 2 \).
\(ON = 7\sqrt 2 \).
\(ON = 3\sqrt 2 \).
Vì N là điểm đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MN.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2.2 + 5\\{y_N} = 2.3 - 2\\{z_N} = 2.1 - 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 9\\{y_N} = 4\\{z_N} = - 1\end{array} \right.\)Þ N(9; 4; −1).
Do đó \(ON = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 7\sqrt 2 \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0; - 1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\). Biết vectơ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \) có tọa độ (x; y; z). Tính T = x + y + z.
T = 6.
T = 5.
T = −5.
T = 7.
\(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {3 - 6 + \left( { - 6} \right);6 - 0 + 1;6 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 9;7;7} \right)\).
Ta có T = −9 + 7 + 7 = 5.
Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
(0; −9; 9).
(0; 6; 9).
(0; 9; −9).
(0; 6; −9).
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = 3\left( {0;2; - 3} \right) = \left( {0;6; - 9} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; −1; 6), B(−3; −1; −4), C(5; −1; 0). Khẳng định nào sau đây đúng?
DABC cân.
DABC có 3 góc nhọn.
DABC vuông.
DABC đều.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {8;0;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 3.8 + 0.0 + \left( { - 6} \right).4 = 0\) Þ \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \).
Do đó DBC vuông tại C.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ là \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \) bằng
12.
2.
11.
10.
Ta có \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 5.2 = 11\).
120°.
30°.
150°.
60°.
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\].
Ta có \(\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }}\)\( = \frac{{ - 21}}{{14\sqrt 3 }}\)\( = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra \(\widehat A = 150^\circ \).
Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(−3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM bằng
\(3\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 7 \).
\(\sqrt {30} \).
\(\sqrt {29} \).
Gọi M(x; y; z) là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB Þ \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} \).
Ta có \(\overrightarrow {MC} = \left( { - 3 - x;6 - y;4 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - x;3 - y;1 - z} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 2x\\6 - y = - 2\left( {3 - y} \right)\\4 - z = - 2\left( {1 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\)Þ M(−1; 4; 2).
Ta có \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {29} \).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Trong không gian Oxyz, cho S(4; 2; 2) và các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {SA} = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SB} = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)\).
b) a = −3; b = 6; c = −6.
c) SA = 3, SB = SC = 6.
d) \({V_{S.ABC}} = 108\).
a) \(\overrightarrow {SA} = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SB} = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)\).
b) Theo đề có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) - 2\left( {b - 2} \right) + 4 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 4 - 2\left( {c - 2} \right) = 0\\16 - 2\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 24\\4a + 2c = 24\\2b + 2c = 24\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 6\end{array} \right.\).
c) \(SA = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\); \(SB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 6\);
\(SC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 6\).
d) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = \frac{1}{6}.3.6.6 = 18\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 5), C(2; 4; 2).
a) Tọa độ trung điểm của AB là \(\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)\).
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {5;7;10} \right)\).
c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30°.
d) Điểm I(a; b; c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó a – 2b + 2c = 15.
a) Tọa độ trung điểm của AB là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)\).
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {5;7;10} \right)\).
c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 120^\circ \).
Do đó góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 60°.
d) Vì I Î (Oxz) nên I(a; 0; c).
Suy ra \(\overrightarrow {IB} = \left( {2 - a;1;5 - c} \right),\overrightarrow {IC} = \left( {2 - a;4;2 - c} \right)\)\( \Rightarrow 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \left( {4 - 2a; - 1;13 - 2c} \right)\).
Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 2a} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {13 - 2c} \right)}^2}} \ge 1\).
Dấu bằng xảy ra khi a = 2; \(c = \frac{{13}}{2}\).
Khi đó a – 2b + 2c = 15.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −5; 4). Khi đó
a) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ (xOz) bằng 5.
b) Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng \(\sqrt {29} \).
c) Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) là M'(2; 5; −4).
d) Tọa độ điểm M' đối xứng với M qua trục Oy là M'(−2; −5; −4).
a) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ (xOz) bằng \(\left| {{y_M}} \right| = 5\).
b) Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng \(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {29} .\)
c) M' đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) là M'(−2; −5; 4).
d) M' đối xứng với M qua trục Oy là M'(−2; −5; −4).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và \(AA' = a\sqrt 2 \). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
b) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).
c) \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
d) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BC'} \) bằng 60°.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {MC} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).
c) \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} } \right).\overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AC} \)
\( = - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CA} \)\[ = \left| {\overrightarrow {AB} .} \right|\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]
\[ = {a^2}.\cos 60^\circ + \frac{{{a^2}}}{2}.\cos 60^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}\].
d) Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)
\( = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} \)
\( = - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|^2}\)
\( = - {a^2}.\cos 60^\circ + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)
\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{2}\).
Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).
b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \).
a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)
b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)
d) \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .
Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(90^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0) và D'(0; 3; −3). Biết trọng tâm của tam giác A'B'C là G(a; b; c). Tính a + b + c.
Gọi A'(x1; y1; z1), B'(x2; y2; z2), C((x3; y3; z3).
Do tính chất hình hộp ta có \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{y_1} = 0\\{z_1} = - 3\end{array} \right.\) Þ A'(0; 0; −3).
\(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} - 3 = 0\\{y_2} = 0\\{z_2} = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{y_2} = 0\\{z_2} = - 3\end{array} \right.\)Þ B'(3; 0; −3).
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_3} = 3\\{y_3} - 3 = 0\\{c_3} = 0\end{array} \right.\) Þ C(3; 3; 0).
Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C là G(2; 1; −2) Þ a = 2; b = 1; c = −2.
Suy ra a + b + c = 2 + 1 – 2 = 1.
Trả lời: 1.
Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz. Biết các kích thước của mái lều là SA = 5m, AB = 10m, độ cao từ S xuống mặt đất là 4m. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều O, A, B, C đến đuôi một chiếc đền treo từ vị trí chính giữa của SQ cách SQ 30 cm. Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OA, SQ.
\(OA = 2IA = 2\sqrt {{5^2} - {4^2}} = 6\).
Gọi H là vị trí chiếc đèn, KH = 30 cm = 0,3 m. Gọi G là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật OABC, suy ra HG = 4 – 0,3 = 3,7 m.
Do đó H(3; 5; 3,7).
Ta thấy OH = AH = CH = BH nên tổng chiều dài sợi dây màu xanh tối thiểu bạn An cần mua là 4OH.
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;5;3,7} \right) \Rightarrow 4OH = 4\sqrt {{3^2} + {5^2} + {{\left( {3,7} \right)}^2}} \approx 27,6\) m.
Trả lời: 27,6.
Trong quá trình cất cánh của một máy bay không người lái: Ban đầu máy bay ở vị trí A, máy bay cách vị trí điều khiển 300m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 100m (tham khảo hình vẽ). Một phút sau, máy bay ở vị trí B cách vị trí điều khiển 1200m về phía nam và 2100m về phía đồng, đồng thời cách mặt đấy 250 m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với vị trí điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1m. Khi đó tọa độ vectơ dịch chuyển \(\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)\) của máy bay không người lái đó. Tính a + b + c.
Từ giả thiết ta có A(300; 200; 100), B(1200; 2100; 250).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {900;1900;150} \right)\).
Suy ra a = 900; b = 1900; c = 150. Do đó a + b + c = 2950.
Trả lời: 2950.
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80° và có độ lớn đều bằng 50 N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60° và có độ lớn bằng 60 N. Độ lớn của hợp lực của ba lực trên đạt bao nhiêu Niutơn? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50N\).
Lực còn lại là \(\overrightarrow {{F_3}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 60N\).
Gọi \(\overrightarrow F \) là hợp lực của ba lực trên ta có:
\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)} \)
\( = \sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2\left( {50.50.\cos 80^\circ + 50.60.\cos 60^\circ + 60.50.\cos 60^\circ } \right)} \approx 124\) N.
Trả lời: 124.
Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc (như hình vẽ dưới đây). Biết lực căng dây tương ứng trên mỗi dây \(OA,\,OB,\,OC\) lần lượt là \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) thỏa mãn \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 16\](N). Tính trọng lượng (đơn vị: N) của chiếc đèn đó. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Ta có: \[P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|\].
Vẽ hình vuông \(OAEB\), ta có \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Vẽ hình chữ nhật \(OCFE\), ta có \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Suy ra: \[P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF\].
Xét hình vuông \(OAEB\), cạnh \(16\), có đường chéo \(OE = 16\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(OEF\), vuông tại \(E\), có \(OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27,7\)
Vậy \(P \approx 27,7\)(N).
Trả lời: 27,7.
