Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương I có đáp án
22 câu hỏi
Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 2.
Điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) là:
A. x = −3.
B. x = −1.
C. x = 0.
D. x = 1.
Đáp án đúng là: B
Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, yCT = −1
và x = 2, yCT = −2.
Cho hàm số y = x3 + 4x2 – 3x + 4. Khi đó:
A. Hàm số đạt cực đại tại x = \(\frac{1}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{94}}{{27}}\).
B. Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 4.
D. Hàm số không có cực đại.
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y = x3 + 4x2 – 3x + 4
y' = 3x2 + 8x – 3
y' = 0 ⇔ x = \(\frac{1}{3}\) hoặc x = −3.
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\frac{1}{3}\), giá trị cực tiểu là \(\frac{{94}}{{27}}\).
Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\). Khi đó,
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (2; 3).
C. hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2).
D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞).
Đáp án đúng là: A
Tập xác định: D = ℝ\{2}.
Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 2) và (2; 3).
Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 4] trong Hình 1 là:
A. −1.
B. −2.
C. 0.
D. 1.
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, trên đoạn [0; 4], giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = −1 khi x = 1.
Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.
Hàm số y = f(x) trong Hình 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Đáp án đúng là: B
Quan sát đồ thị hàm số, hàm số có ba điểm cực trị x = −2, x = 1, x = 3.
Quan sát Hình 1 và trả lời các câu hỏi từ 1 đến 3.
Hàm số y = f(x) trong Hình 1 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (−2; 1).
B. (−4; −2).
C. (−1; 3).
D. (1; 3).
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1).
Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 3.
Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng
A. (−4; −2) và (−2; 2).
B. (−2; 0).
C. (−4; −3) và (−1; 1).
D. (−3; −1) và (1; 2).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 2).
Cho hàm số y = x3 – 12x + 6. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−3; 3] là
A. 6.
B. 15.
C. 17.
D. 22.
Đáp án đúng là: D
Ta có: y = x3 – 12x + 6
y' = 3x2 – 12
y' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −2.
Tính các giá trị, ta được: y(−2) = 22, y(2) = −10, y(−3) = 15, y(3) = −3.
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = 22\).
Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}}\).
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x – 3.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x + 3.
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x +1.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Đáp án đúng là: A
Ta có: y = \(\frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}}\) = x – 3 + \(\frac{9}{{x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right]\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{9}{{x + 1}}\) = 0.
Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x – 3.
Đồ thị hàm số y = \(\frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) có tâm đối xứng là điểm:
A. (−1; −2).
B. (−2; −1).
C. (−1; −1).
D. (−2; −2).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) = +∞, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) = −∞.
Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) = −2, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}\) = −2.
Do đó, đường thẳng y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ (−1; −2).
Cho hàm số y = 2x3 – 5x2 – 24x – 18.
a) Hàm số có hai cực trị.
b) Hàm số đạt cực đại tại x = \( - \frac{4}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{10}}{{27}}\).
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞).
d) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{4}{3};3} \right)\).
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) S |
Ta có: y = 2x3 – 5x2 – 24x – 18
y' = 6x2 – 10x – 24
y' = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = \( - \frac{4}{3}\).
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)\) và (3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{4}{3};3} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại x = \( - \frac{4}{3}\) và yCĐ = \(\frac{{10}}{{27}}\).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = −81.
Hàm số y = \(\frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) có các tiệm cận là
a) x = 2.
b) x = 3.
c) y = 2.
d) y = 3.
a) Đ | b) S | c) S | d) Đ |
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Do đó, x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = 3\).
Do đó, y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(q) = −q3 + 24q2 + 780q – 5000 (nghìn đồng) trong đó q (kg) là khối lượng sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần.
a) Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng cao.
b) Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.
c) Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.
d) Lợi nhuận của xưởng thấp nhất khi không sản xuất.
a) S | b) Đ | c) Đ | d) S |
Ta có: P(q) = −q3 + 24q2 + 780q – 5000 với 0 ≤ q ≤ 50.
P'(q) = −3q2 + 48q + 780
P'(q) = 0 ⇔ q = 26 hoặc q = −10 (loại do 0 ≤ q ≤ 50).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng giảm.
Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.
Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.
Lợi nhuận sản xuất thấp nhất khi xưởng sản xuất tối đa 50 kg.
Đồ thị hàm số y = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\) có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
a) x = 1 và y = x – 3.
b) x = 1 và y = −x + 3.
c) x = −1 và y = x – 3.
d) x = −1 và y = x + 3.
a) S | b) S | c) Đ | d) S |
Ta có: y = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\) = x – 3 + \(\frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}} = + \infty \).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên x = x – 3.
Giá thành của một sản phẩm trong 6 tháng đầu năm thay đổi theo công thức P(t) = 2t3 – 33t2 + 168t + 137 với P tính bằng nghìn đồng và t là số tháng tính từ đầu năm. Trong khoảng thời gian nào thì giá của sản phẩm tăng?
Ta có: P(t) = 2t3 – 33t2 + 168t + 137 với 0 < t ≤ 6.
P'(t) = 6t2 – 66t + 168
P'(t) = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = 7 (loại do 7 ∉ (0; 6]).
Ta có bảng xét dấu sau:
Do đó, giá sản phẩm tăng trong 4 tháng đầu năm.
Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?
Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy của chiếc hộp hình hộp chữ nhật (x > 0).
Khi đó, chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{10}}{{{x^2}}}\) (dm).
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
S = 2Sđáy + Sxq = 2x2 + 4x.\(\frac{{10}}{{{x^2}}}\) = 2x2 + \(\frac{{40}}{x}\) (dm2).
Ta có: S' = 4x – \(\frac{{40}}{{{x^2}}}\)
S' = 0 ⇔ x = \(\sqrt[3]{{10}}\).
Ta có bảng xét dấu như sau:
Do đó, diện tích toàn phần nhỏ nhất là S = \(6\sqrt[3]{{100}}\) dm2 khi x = \(\sqrt[3]{{10}}\) dm.
Cho hàm số y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x3 + 2x2 + (m + 2)x + 1 (m là tham số).
Tìm m để đồ thị hàm số không có cực trị.
Ta có: y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x3 + 2x2 + (m + 2)x + 1
Tập xác định: D = ℝ.
TH1: \(\frac{{m + 2}}{3}\) = 0 ⇔ m = \( - \frac{2}{3}\).
Ta có: y = f(x) = 2x2 + \(\frac{4}{3}\)x + 1
y' = 4x + \(\frac{4}{3}\)
y' = 0 ⇔ x = \( - \frac{1}{3}\).
Vậy với m = \( - \frac{2}{3}\) hàm số có 1 cực trị.
Do đó, m = \( - \frac{2}{3}\) loại.
TH 2: \(\frac{{m + 2}}{3}\) ≠ 0 ⇔ m ≠ \( - \frac{2}{3}\).
Ta có: y = f(x) = \(\frac{{m + 2}}{3}\)x3 + 2x2 + (m + 2)x + 1
y' = (m + 2)x2 + 4x + m + 2
Để hàm số không có cực trị thì (−2)2 – (m + 2)(m + 2) ≤ 0 ⇔ (m + 2)2 ≥ 4.
Suy ra m ≥ 0 hoặc m ≤ −4.
Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị hàm số sau theo tham số m: y = f(x) = (2 – m)x3 – 3x2 + 2.
Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, I luôn thuộc một parabol xác định.
Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: 2 – m ≠ 0 hay m ≠ 2. (*)
Khi đó, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, ta có:
I\(\left( {\frac{1}{{2 - m}}; - 2{{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)}^2} + 2} \right)\).
Thay \(\frac{1}{{2 - m}}\) bởi xI vào tung độ điểm I, ta có: yI = \( - 2x_I^2\) + 2.
Biểu thức cho thấy yI là một hàm số bậc hai theo xr.
Suy ra tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số y = −2x2 + 2.
Mặt khác, xI = \(\frac{1}{{2 - m}}\) nên m = 2 – \(\frac{1}{{{x_I}}}\).
Vậy với mọi xI ta luôn có m = 2 – \(\frac{1}{{{x_I}}}\) ≠ 2 (thỏa mãn *), nghĩa là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc parabol có phương trình y = −2x2 + 2.
Cho hàm số y = f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\) (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.
y = f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: D = ℝ\{1}.
Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Để phương trình có hai cực trị, suy ra phương trình x2 – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Do đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\\{( - 1)^2} - m + 2 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 3\end{array} \right.\).
Vậy m < 3.
Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm x 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp).
Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất?
Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).
Gọi x (dm) là bán kính đáy hình trụ (x > 0).
Phương án 1:
Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:
V(x) = πx2(2 – 2x) với x ∈ \(\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]\).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
V(x) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]\) là khoảng 0,93 dm3 khi x ≈ 0,67 dm.
Phương án 2:
Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:
V(x) = 2πx2 với x ∈ \(\left( {0;\frac{5}{{2\left( {\pi + 1} \right)}}} \right]\).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
V(x) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( {0;\frac{5}{{2\left( {\pi + 1} \right)}}} \right]\) là khoảng 2,29 dm3 khi x ≈0,60 dm.
Vậy thể tích lon hình trụ lớn nhất khi thiết kế theo phương án 2 và bán kính đáy khoảng 0,60dm.
Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau:
Phí cố định được ước tính trong một năm là 50 000 nghìn đồng.
Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng.
Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng.
Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu x là số phần ăn tự phục vụ trong một năm, giả sử x thuộc khoảng [5 000; 25 000].
a) Gọi C(x) là tổng chi phí hằng năm cho x phần ăn này. Xác định C(x).
b) Chứng tỏ rằng giá thành của một phần ăn cho bởi biểu thức D(x) = 22 + \(\frac{{50000}}{x}\) (nghìn đồng).
c) Sử dụng đồ thị, hãy xác định điểm hòa vốn của nhà hàng, tức là số lượng phần ăn tối thiểu phải được phục vụ hằng năm để hoạt động của nhà hàng tạo ra lợi nhuận. Hãy chứng minh điều đó.
d) Chứng minh rằng tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn được biểu thị bởi:
L(x) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).
e) Mục tiêu của chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là 120 000 nghìn đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà phàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt được mục tiêu trên.
a) Ta có: C(x) = 22x + 50 000 (nghìn đồng).
b) Giá thành một phần ăn là: D(x) = \(\frac{{C(x)}}{x} = 22 + \frac{{50000}}{x}\) nghìn đồng.
c) Xét: \(22 + \frac{{50000}}{x}\) = 30 ⇔ x = 6250.
Ta có đồ thị hàm số:
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy giao điểm của đồ thị hàm số D(x) và đường thẳng y = 30 là điểm có tọa độ (6250; 30). Nghĩa là khi phục vụ được tối thiểu 6250 phần ăn thì chi phí một phần ăn bằng tiền bán một phần ăn (là 30 nghìn đồng).
Đồ thị cũng cho thấy rằng nếu phục vụ ít hơn 6250 phần ăn thì chi phí cho 1 phần ăn cao hơn giá 1 phần ăn, nghĩa là nhà hàng sẽ lỗ.
Như vậy điểm hòa vốn là 6250.
d) Tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn là
L(x) = 30x – (22x + 50 000) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).
e) Để đạt mục tiêu lợi nhuận hằng năm ít nhất là 120 000 nghìn đồng thì số phần ăn cần bán được phải thỏa mãn bất phương trình sau:
L(x) ≥ 120 000
⇔ 8x – 50 000 ≥ 120 000
⇔ x ≥ 21 250.
Kết quả cho thấy hằng năm, nhà hàng cần phục vụ được tối thiểu 21 250 phần ăn thì mới có lợi nhuận như mong muốn.
Do nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm nên trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ số phần ăn là:
21 250 : 300 ≈ 70,8 phần ăn.
Vậy để đạt mục tiêu, trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ ít nhất 71 phần ăn.
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 800 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.
Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là x (cm), y (cm) với x > 0 và y > 0.
a) Chứng tỏ rằng y = \(\frac{{100}}{x}\).
b) Tìm diện tích toàn phần S(x) của chiếc hộp theo x.
c) Khảo sát hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).
d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét).
a) Ta có: V = 800 = 8xy ⇒ y = \(\frac{{800}}{{8x}} = \frac{{100}}{x}\).
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:
S(x) = 2(x + y).8 + 2xy = 16\(\left( {x + \frac{{100}}{x}} \right)\) + 2x. \(\frac{{100}}{x}\) = 16x + \(\frac{{1600}}{x}\) + 200.
c) S(x) = 16x + \(\frac{{1600}}{x}\) + 200, với x > 0.
S'(x) = 16 – \(\frac{{1600}}{{{x^2}}}\)
S'(x) = 0 ⇔ x2 = 100 ⇔ x = 10.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên (10; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 10).
d) Khi x = 10 thì hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất và S(10) = 520.
Lúc này, y = \(\frac{{100}}{x} = \frac{{100}}{{10}}\) = 10, nghĩa là khi làm đáy hộp là hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì sẽ tiết kiệm vật liệu nhất.
