Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có đáp án

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 5;5]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\) = 7, \(\mathop {\min }\limits_{[ - 5;5]} f\left( x \right) = f\left( { - 5} \right)\) = −3.

b) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 7;5]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right)\) = 5, \(\mathop {\min }\limits_{[ - 7;5]} g\left( x \right) = g\left( { - 4} \right)\) = −3.

a) y = x³ – 8x² – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9]

Ta có: y' = 3x² – 16x – 12

           y' = 0 ⇔ 3x² – 16x – 12 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = \(\frac{{ - 2}}{3}\).

Tính các giá trị, ta được: y(−2) = −15, y\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \(\frac{{139}}{{27}}\) ≈ 5,15, y(6) = −143, y(9) = −26.

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;9]} y = y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}}\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;9]} y\) = y(6) = −143.

b) y = −2x³ + 9x² – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4].

Ta có: y = −2x³ + 9x² – 17

           y' = −6x² + 18x

           y' = 0 ⇔ −6x² + 18x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Tính các giá trị, ta được: y(0) = −17, y(3) = 10, y(4) = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} y = y\left( 0 \right)\) = −17 và hàm số không có giá trị lớn nhất trên (−∞; 4].

c) y = x³ – 12x + 4 trên đoạn [−6; 3]

Ta có: y' = 3x² – 12

           y' = 0 ⇔ 3x² – 12 = 0 ⇔ x = ±2.

Tính các giá trị, ta được: y(−6) = −140, y(−2) = 20, y(2) = −12, y(3) = −5.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} y = y\left( { - 6} \right)\) = −140, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} y = y\left( { - 2} \right)\) = 20.

d) y = 2x³ – x² – 28x – 3 trên đoạn [−2; 1]

Ta có: y' = 6x² – 2x – 28

           y' = 0 ⇔ 6x² – 2x – 28 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = \(\frac{7}{3}\) (loại do x = \(\frac{7}{3}\)∉[−2; 1]).

Tính được các giá trị, ta được: y(−2) = 33, y(1) = −30.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( 1 \right)\) = −30, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 2} \right)\) = 33.

e) y = −3x³ + 4x² – 5x – 17 trên đoạn [−1; 2]

Ta có: y' = −9x² + 8x – 5

           y' = 0 ⇔ −9x² + 8x – 5 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right)\) = −5, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right)\) = −35.

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) trên nửa khoảng (3; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{3}.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ∈(3; 4].

Hàm số nghịch biến trên (3; 4].

Có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y\) = +∞, y(4) = 9.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {3;4} \right]} y\) = y(4) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên (3; 4].

b) \(y = \frac{{3x + 7}}{{2x - 5}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{ - 29}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ∈\(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)} y = y\left( { - 5} \right)\) = \(\frac{8}{{15}}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

c) \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0 với mọi x ∈[0; 4].

Hàm số đồng biến trên [0; 4], do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}4} \right]} y = y\left( 0 \right)\) = 2, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}4} \right]} y\) = y(4) = \(\frac{{14}}{5}\).

a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}{{2x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {8x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {4{x^2} - 2x + 9} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔\(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1 (loại do −1∉(1; +∞)).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right)\) = 7, hàm số không có giá trị lớn nhất (1; +∞).

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2x + 1}}\) trên nửa khoảng [0; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) > 0,

với mọi x ∈[0; +∞).

Ta có bản biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right)\) = −2, hàm số không có giá trị lớn nhất trên [0; +∞).

c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}{{3x - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {18x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) - 3\left( {9{x^2} + 3x + 7} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\)

            y' = 0 ⇔\(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \(\frac{4}{3}\) hoặc x = \(\frac{{ - 2}}{3}\) (loại do \(\frac{{ - 2}}{3}\) ∉ \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}{{2x + 5}}\) trên đoạn [−2; 4]

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {4x + 3} \right)\left( {2x + 5} \right) - 2\left( {2{x^2} + 3x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔\(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \( - \frac{3}{2}\) hoặc x = \( - \frac{7}{2}\) (loại do \( - \frac{7}{2}\)∉[−2; 4]).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( { - \frac{3}{2}} \right)\) = \( - \frac{3}{2}\).

a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 9} \)

Tập xác định: D = [−3; 3].

Ta có: y' = \(\frac{{ - x}}{{\sqrt { - {x^2} + 9} }}\)

           y' = 0 ⇔\(\frac{{ - x}}{{\sqrt { - {x^2} + 9} }}\)= 0 ⇔ x = 0.

Tính các giá trị, ta được: y(−3) = 0, y(0) = 3, y(3) = 0.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = y\left( { - 3} \right) = 0\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 3\).

b) y = \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x + 10}}\)

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} + 2x + 10 - \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2x + 10} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 2x + 10} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4.

Ta có bảng biến thiên:

Ta có: v(t) = x'(t) = −0,04t³ + 0,36t² + 0,6t với 0 ≤ t ≤ 6.

           v'(t) = −0,12t² + 0,72t + 0,6

           v'(t) = 0 ⇔ −0,12t² + 0,72t + 0,6 = 0 ⇔ t = 3 ±\(\sqrt {14} \) (loại do 3 ±\(\sqrt {14} \)∉ [0; 6]).

Ta tính được các giá trị: v(0) = 0, v(6) = 7,92.

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;6} \right]} v\left( t \right) = v\left( 6 \right)\) = 7,92 (m/s).

Hướng dẫn giải

Ta có: a + b = 4 ⇒ a = 4 – b và 0 ≤ a ≤ 4.

Đặt f(a) = a⁴ + b⁴ = a⁴ + (4 – a)⁴

      f'(a) = 4a³ – 4(4 – a)³ = 0

 ⇔ a³ = (4 – a)³ ⇔ x = 2.

Tính các giá trị, ta được: f(0) = 256, f(2) = 32, f(4) = 256.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32\).

Chiếc hộp sau khi gấp có cạnh đáy là: 12 – 2x (cm) với 0 < x < 6.

Thể tích của chiếc hộp lúc này là: V = x(12 – 2x)² với 0 < x < 6.

Ta có: V' = (12 – 2x)² – 4x(12 – 2x) = 12x² – 96x +144

           V' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại do 6 ∉ (0; 6)).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy thể tích chiếc hộp lớn nhất là 128 cm³ khi x = 2 (cm).

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có \(\widehat {MOC} = 2\widehat {OAC} = \widehat {BAC}\) = α.

Do đó: AM = AO + OM = 1 + cosα,

            BC = 2MC = 2sinα.

Suy ra S = \(\frac{1}{2}\)AM.BC = sinα(1 + cosα).

b) Ta có: S' = cosα(1 + cosα) – sin²α = 2cos²α + cosα – 1;

               S' = 0 ⇔ cosα = −1 hoặc cosα = \(\frac{1}{2}\)

                         ⇔ α = π + k2π hoặc α = \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

Mà 0 < α < π do đó α = \(\frac{\pi }{3}\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\max S}\limits_{\left( {0;\pi } \right)} = S\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) (cm²).

Xét hình thang cân ABCD có AB ∥ CD như hình bên.

Ta có diện tích hình thang cân ABCD là:

S = \(\frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)AE = \left( {5 + x} \right)\sqrt {25 - {x^2}} \) (0 ≤ x < 5).

S' = \(\frac{{ - 2{x^2} - 5x + 25}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)

S' = 0 ⇔ x = 2,5.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right)} S = S\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).

Lợi nhuận xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất x (kg) thành phẩm là:

P(x) = 513x – (2x³ – 30x² + 177x + 2 592) = −2x³ + 30x² + 336x – 2 592 với 0 ≤ x ≤ 20.

Ta có: P'(x) = −6x² + 60x + 336

           P'(x) = 0 ⇔ x = 14 hoặc x = −4 (loại do −4 ∉ [0; 20]).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;20} \right]} P\left( x \right) = P\left( {14} \right) = 2504\).

Vậy x = 14 kg.

Ta có doanh thu R = PQ = Q\(\sqrt {1500 - Q} \), với 0 ≤ Q ≤ 1 500

                           R' = \(\frac{{ - 3Q + 3000}}{{2\sqrt {1500 - Q} }}\)

                           R' = 0 ⇔ Q = 1 000.

Tính các giá trị, ta được: R(0) = 0, R(1 000) = 10 000\(\sqrt 5 \), R(1 500) = 0.

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1500} \right]} R = R\left( {1000} \right) = 10000\sqrt 5 \).