Giải SBT Toán 12 CD Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x2 – 2).e2x ⇒ y' = 2(x2 + x – 2).e2x

              y' = 0 ⇔ 2(x2 + x – 2).e2x = 0.

Khi đó, trên khoảng (−1; 2), y' = 0 khi x = 1.

y(−1) = −e−2, y(1) = −e2, y(2) = 2e4.

Vậy y = −e2.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = ln(x2 + x + 2) ⇒ y' = .

           y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ x = .

y(1) = ln4, y(3) = ln14.

Vậy y = ln14.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = [−2; 2].

Ta có: y =  ⇒ y' = − = .

           y' = 0 ⇔ = 0 ⇔ x = ±.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: m = −2, M = 2.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y =  ⇒ y' =

           y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = e2.

y(1) = 0, y(e2) = , y(e3) = .

Do đó, y = nên ta có: a = 4, b = 2.

Vậy a2 + 2b3 = 42 + 2 . 23 = 32.

Điều kiện xác định: D = (0; +∞)

Ta có: y = x2. lnx ⇒ y' = 2x.lnx + x2. = x(2lnx + 1).

           y' = 0 ⇔ x(2lnx + 1) = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = (thỏa mãn).

= .

Ta có: y = , , y(e) = e2.

Vậy y = .

Thể tích của thùng chính bằng thể tích hình hộp nên V = x2. h (dm3).

Tổng diện tích xung quanh và diện tích 1 đáy của thùng (do thùng không nắp) là:

S = 4xh + x2 (dm2).

Theo đề, cái gò đựng đầy được 32 lít nước, tức là V = 32 (dm3).

⇒ x2. h = 32 ⇒ h = .

Khi đó S(x) = 4x. + x2 = .

Ta có: S(x) =  ⇒ S'(x) =

           S'(x) = 0 ⇔  = 0 ⇔ x = 4.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để làm được thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là

4 dm.

y = − x2 + 3x + 1 trên khoảng (0; 3)

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = − x2 + 3x + 1 ⇒ y' = −x2 – 2x + 3.

           y' = 0 ⇔ −x2 – 2x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −3.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy y = tại x = 1 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 3).

y = x4 – 8x2 + 10 trên khoảng (; )

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x4 – 8x2 + 10 ⇒ y' = 4x3 – 16x.

            y' = 0 ⇔ 4x3 – 16x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy y = 10 tại x = 0, y = − 6 tại x = −2, x = 2.

 .

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:  ⇒ y' = = .

           y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy y = −1 tại x = 0, hàm không có giá trị lớn nhất trên ℝ.

y = x + trên khoảng (−∞; 1).

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y = x +  ⇒ y' = 1 − .

         y' = 0 ⇔ 1 − = 0 ⇔ x = 3 (3 ∉ (−∞; 1)) hoặc x = −1 (−1 ∈ (−∞; 1)).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy y = −3 tại x = −1, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (−∞; 1).

y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 trên đoạn [−1; 5]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 ⇒ y' = 6x2 + 6x – 12.

Trên khoảng (−1; 5), y' = 0 khi x = 1.

Ta có: y(−1) = 14, y(1) = −6, y(5) = 266.

Vậy y = 266 tại x = 5, y = −6 tại x = 1.

y = . trên đoạn

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = . ⇒ y' = 4x(x2 – 2).

Trên khoảng , y' = 0 khi x = 0 hoặc x = .

Ta có: y = , y(0) = 4, y() = 0, y(2) = 4.

Vậy y = 4 tại x = 2 và x = 0, y = 0 tại x = .

y = x5 – 5x4 + 5x3 + 1 trên đoạn [−1; 2]

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x5 – 5x4 + 5x3 + 1 ⇒ y' = 5x4 – 20x3 + 15x2.

Trên khoảng (−1; 2), y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 1.

Tính được y(−1) = −10, y(0) = 1, y(1) = 2, y(2) = −7.

Vậy y = 2 tại x = 1, y = −10 tại x = −1.

y = x + trên đoạn [3; 4].

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: y = x +  ⇒ y' = 1 − .

           y' = 0 khi x = 2 hoặc x = −2.

Nhận thấy −2, 2 ∉ (3; 4).

Ta tính y(3) = , y(4) = 5.

Vậy y = 5 tại x = 4, y = tại x = 3.

y = .

Tập xác định: D = [−4; 4].

Ta có: y =  ⇒ y' = .

Trên khoảng (−4; 4), y' = 0 khi x = .

Ta tính được: y(−4) = 0, y() = −8, y() = 8, y(4) = 0.

Vậy y = 8 tại x = , y = −8 tại x = .

y = sin2x – x trên đoạn .

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = sin2x – x ⇒ y' = 2cos2x – 1.

           y' = 0 ⇔ 2cos2x – 1 = 0 ⇔ x = ± (k ∈ ℤ).

Xét trên khoảng , y' = 0 khi x =  hoặc x = −.

Ta tính được: y = , y = , y = , y = .

Vậy y = tại x = , y = tại x = .

y = x + cos2x trên đoạn .

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x + cos2x ⇒ y' = 1 – sin2x.

           y' = 0 ⇔ x = (k ∈ ℤ).

Xét trên khoảng , ta thấy không có giá trị nào của x để y' = 0.

Ta tính được: y(0) = 1, y = + .

Vậy y = + tại x = , y = 1 tại x = 0.

y = 3x + 3-x trên đoạn [−1; 2].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = 3x + 3-x ⇒ y' = 3x.ln 3 − 3-x.ln 3.

Trên khoảng (−1; 2), y' = 0 khi x = 0.

Ta tính được: y(−1) = , y(0) = 2, y(2) = .

Vậy y =  tại x = 2, y = 2 tại x = 0.

y = x. trên đoạn [0;1].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x. ⇒ y' = (1 − 4x2). 

Trên khoảng (0; 1), y' = 0 khi x = .

Ta tính được các giá trị: y(0) = 0, y = , y(1) = .

Vậy y = tại x = , y = 0 tại x = 0.

y = ln(x2 + 2x + 3) trên đoạn [−2; 3].

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = ln(x2 + 2x + 3) ⇒ y' = .

Trên khoảng (−2; 3), y' = 0 khi x = −1. 

Ta tính được: y(−2) = ln3, y(−1) = ln2, y(3) = ln18.

Vậy y = ln18 tại x = 3, y = ln2 tại x = −1.

y = −3x + 5 + x.lnx trên đoạn [1; 3].

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y = −3x + 5 + x.lnx ⇒ y' = −2 + lnx.

           y' = 0 ⇔ −2 + lnx = 0 ⇔ x = e2 ∉ (1; 3).

Ta tính được: y(1) = 2, y(3) = 3ln3 – 4.

Vậy y = 2 tại x = 1, y = 3ln 3 – 4 tại x = 3.

Gọi độ dài đoạn AB là x (x > 0, đơn vị: mét).

Lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với chiều cao h = 4 m và tam giác đáy có độ dài các cạnh là 2 m, 2m, x m, suy ra chiều cao tam giác đáy là (m).

Để không gian trong lều là lớn nhất tức là thể tích của nó lớn nhất.

V = S.h = .x..4 = 2x. = x. (0 < x < 4).

Ta có: x. ≤ = 18.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =  ⇔ x =  ∈ (0; 4).

Vậy Vmax = 18 m3 khi AB = m.

Ta có: C(t) = (t ≥ 0).

          C'(t) =  

          C'(t) = 0 ⇔  = 0 ⇔ t = .

Ta có bảng xét dấu như sau:

Căn cứ vào bảng xét dấu, ta thấy ứng với t = thì C(t) đạt giá trị lớn nhất, tức là sau khoảng 2,38 giờ tiêm thì nồng độ hóa chất trong máu là cao nhất.

Ở nhiệt độ T = 25 °C thì khối lượng riêng lúc này là:

≈ 0,99708 (kg/dm3).

Ta có: với 0 < T ≤ 25.

            ⇒ S' = .

Trên khoảng (0; 25), S' = 0 khi T ≈ 4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy khi nhiệt độ ở khoảng 4 °C thì khối lượng riêng của nước là lớn nhất khoảng 1 kg/dm3.