Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_{4}a={\log }_4{\left(\sqrt{a}\right)}^2=2{\log }_4\sqrt{a}=2\cdot 16=32.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: log4 000 = log(4.1 000) = log(2².10³)

      = log2² + log10³ = 2log2 + 3 = 2a + 3.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_{2}6=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}2}=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}\left(\frac{12}{6}\right)}$$=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}12-{\log }_{12}6}=\frac{a}{1-a}.$

Đáp án đúng là: B

− Hàm số mũ $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ đồng biến trên ℝ vì $\sqrt{3}>1.$

− Ba hàm số còn lại nghịch biến trên tập xác định của chúng.

   ⦁ Hàm số mũ $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$  nghịch biến trên ℝ vì $0<\frac{e}{\pi }<1.$

   ⦁ Hàm số lôgarit y = log_0,3x nghịch biến trên (0; +∞) vì 0 < 0,3 < 1.

   ⦁ Hàm số lôgarit $y=-{\log }_{2}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$  nghịch biến trên (0; +∞) vì $0<\frac{1}{2}<1.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3^{x – 1} = 1 ⇔ 3^{x – 1} = 3⁰ ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $0,5^x={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3}\iff {\left(2^{-1}\right)}^x={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{x+3}$

$\iff 2^{-x}=2^{\frac{x+3}{2}}\iff -x=\frac{x+3}{2}$

⇔ −2x = x + 3 ⇔ 3x + 3 = 0

⇔ x = –1.

Vậy phương trình có nghiệm x = – 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{3}}x=-2\iff x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9.$

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-3\right)=0$

$\iff {\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{5^{-1}}\left(2x-3\right)=0$

⇔ log₅ (2x – 3) + log₅ (2x – 3) = 0

⇔ 2log₅ (2x – 3) = 0

⇔ log₅ (2x – 3) = 0

⇔ 2x – 3 = 5⁰

⇔ 2x – 3 = 1 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $2^{\sqrt{x}}>1\iff 2^{\sqrt{x}}>2^0\iff \sqrt{x}>0\iff x>0.$

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0 suy ra: x > 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số mũ y = c^x đồng biến trên ℝ. Suy ra c > 1.

Hàm số mũ y = a^x và y = b^x nghịch biến trên ℝ. Suy ra 0 < a < 1 và 0 < b < 1.

Thay x = 100 vào hàm số y = a^x và y = b^x ta thấy: a¹⁰⁰ > b¹⁰⁰ > 0. Suy ra 0 < b < a.

Vậy b < a < c.

Với a > 0 ta có:
a) $a^{\sqrt{3}}.{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{3}-1}=a^{\sqrt{3}}.{\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{3}-1}$
 $=a^{\sqrt{3}}.a^{1-\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a^1=a.$
b) ${\left(a^{\sqrt{5}}\right)}^{2\sqrt{5}}=a^{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=a^{10}.$
c) ${\left(a^{\sqrt{5}}\right)}^{2\sqrt{5}}=a^{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=a^{10}.$
$=a^{-2\sqrt{2}}.a^{\sqrt{2}}=a^{-2\sqrt{2}+\sqrt{2}}=a^{-\sqrt{2}}.$
d) $a^{\pi }.\sqrt[3]{a^3:a^{6\pi }}=a^{\pi }.\sqrt[3]{a^{3-6\pi }}=a^{\pi }.a^{\frac{3-6\pi }{3}}$
$=a^{\pi }.a^{1-2\pi }=a^{\pi +1-2\pi }=a^{1-\pi }.$

Với x > 0, y > 0, x, y ≠ 1 ta có:
a) $A=\frac{x^{3\sqrt{3}}-1}{x^{\sqrt{3}}-1}-\frac{x^{2\sqrt{3}}+x^{\sqrt{3}}}{x^{\sqrt{3}}}$
$=\frac{{\left(x^{\sqrt{3}}\right)}^3-1^3}{x^{\sqrt{3}}-1}-\frac{{\left(x^{\sqrt{3}}\right)}^2+x^{\sqrt{3}}}{x^{\sqrt{3}}}$
$=\frac{\left(x^{\sqrt{3}}-1\right)\left[{\left(x^{\sqrt{3}}\right)}^2+x^{\sqrt{3}}+1\right]}{x^{\sqrt{3}}-1}-\frac{x^{\sqrt{3}}\left(x^{\sqrt{3}}+1\right)}{x^{\sqrt{3}}}$
$=x^{2\sqrt{3}}+x^{\sqrt{3}}+1-x^{\sqrt{3}}-1$
$=x^{2\sqrt{3}}.$
b) $B=\frac{x^{2\sqrt{2}}-y^{2\sqrt{3}}}{{\left(x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}\right)}^2}+1=\frac{{\left(x^{\sqrt{2}}\right)}^2-{\left(y^{\sqrt{3}}\right)}^2}{{\left(x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}\right)}^2}+1$
 $=\frac{\left(x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}\right)\left(x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{3}}\right)}{{\left(x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}\right)}^2}+1$
$=\frac{x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{3}}}{x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}}+1$
$=\frac{x^{\sqrt{2}}+y^{\sqrt{3}}+x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}}{x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}}$
$=\frac{2x^{\sqrt{2}}}{x^{\sqrt{2}}-y^{\sqrt{3}}}.$

a) Điều kiện: 2x + 3 ≠ 0 (luôn đúng)
Suy ra: Hàm số $y=\frac{2^x-3}{2^x+3}$ có tập xác định là ℝ.
b) Điều kiện: 3x – 1 ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ 3x ≥ 30 ⇔ x ≥ 0 (vì 3 > 1)
Suy ra: Hàm số $y=\sqrt{3^x-1}$ có tập xác định là [0; + ∞).
c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-{\log }_{2}x\ne 0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 2^3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 8\end{array}\right..$
Suy ra: Hàm số $y=\frac{{\log }_{2}x}{3-{\log }_{2}x}$ có tập xác định là (0; + ∞) \ {8}.
d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{0,2}x+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{0,2}x>-2\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<0,2^{-2}\end{array}\right.$(vì 0 < 0,2 < 1)
$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<25\end{array}\right.\iff 0<x<25.$
Suy ra: Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{0,2}x+2}}$ có tập xác định là (0; 25).

Với b > 0 và $b^{\frac{2}{3}}=a$ ta có:
• $b^2=b^{\frac{2}{3}\cdot 3}={\left(b^{\frac{2}{3}}\right)}^3=a^3.$
• $\sqrt{a}\cdot b=a^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=a^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(b^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}$$=a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=a^2.$
• $\frac{a^6}{b^3}=\frac{a^6}{b^{\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{2}}}=\frac{a^6}{{\left(b^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{9}{2}}}=\frac{a^6}{a^{\frac{9}{2}}}=a^{6-\frac{9}{2}}=a^{\frac{3}{2}}.$

Với a > 0, a ≠ 1 và $a^{\frac{1}{2}}=b$ nên b > 0. Ta có:
a) ${\log }_{a}b={\log }_a{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$
b) ${\log }_a\left(a^3{b}^2\right)={\log }_a\left[a^3.{\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2\right]$$={\log }_a\left(a^3.a\right)={\log }_a{a}^4=4.$
c) ${\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{a^{\frac{1}{2}}}\left(\frac{a}{a^{\frac{1}{2}}}\right)$$=2{\log }_a{a}^{1-\frac{1}{2}}=2{\log }_a{a}^{\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{1}{2}=a.$
d) ${\log }_{ab}\left(a\sqrt{b}\right)={\log }_{a\cdot a^{\frac{1}{2}}}\left(a\sqrt{a^{\frac{1}{2}}}\right)={\log }_{a^{\frac{3}{2}}}\left(a.a^{\frac{1}{4}}\right)$$=\frac{2}{3}{\log }_a\left(a^{1+\frac{1}{4}}\right)=\frac{2}{3}{\log }_a{a}^{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{5}{4}=\frac{5}{6}.$

⇔ 2x² + x – 1 = 2 

a) $2^{5x+1}>0,25\iff 2^{5x+1}>2^{-2}$$\iff 5x+1>-2\iff x>-\frac{3}{5}.$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\frac{3}{5};+\infty \right).$
b) ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{x-1}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+2}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2\left(x-1\right)}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+2}\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2\left(x-1\right)}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{x+2}$
⇔ –2(x – 1) ≤ x + 2 (do $\frac{3}{2}>1)$
⇔ –3x ≤ 0 ⇔ x ≥ 0.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (0; + ∞).
c) Ta có: ${\log }_{16}\left(3x+4\right)<-\frac{1}{4}\iff 0<3x+4<{16}^{-\frac{1}{4}}$
$\iff 0<3x+4<\frac{1}{2}\iff \left\{\begin{array}{l}3x+4>0\\ 3x+4<\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{4}{3}\\ x<-\frac{7}{6}\end{array}\right.\iff -\frac{4}{3}<x<-\frac{7}{6}.$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\frac{4}{3};-\frac{7}{6}\right).$
d) Ta có: log0,2 (x2 – 6x + 9) ≥ log0,2 (x – 3)
$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2–6x+9\le x–3\\ x^2–6x+9>0\end{array}\right.$(Vì 0 < 0,2 < 1)
$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2–7x+12\le 0\\ {\left(x-3\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3\le x\le 4\\ x\ne 3\end{array}\right.\iff 3<x\le 4$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (3; 4].

Do số vi khuẩn ban đầu là 1 000 con nên ta có: A = 1 000.

a) Biết sau 10 giờ tăng trưởng thành 5 000 con nên f(x) = f(10) = 5 000.

Ta có: f(x) = Ae^rx suy ra: $rx=\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)$

$\Rightarrow r=\frac{1}{x}.\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)=\frac{1}{10}\ln \left(\frac{5000}{1000}\right)=\frac{\ln 5}{10}.$

b) Khi số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu tức là f(x) = 10A nên ta có: $x=\frac{1}{r}.\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)=\frac{1}{r}\ln \left(\frac{10A}{A}\right)=\frac{\ln 10}{r}.$

Thay $r=\frac{\ln 5}{10}$  ta có $x=\frac{\ln 10}{\frac{\ln 5}{10}}\approx 14.$

Vậy sau khoảng 14 giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu.

Do vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 ^oC nên ta có T = 8. Suy ra: 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84 = 8

$\Rightarrow \ln \left(1,0245-d\right)=-\frac{2692}{395}$

$\Rightarrow 1,0245-d=e^{-\frac{2692}{395}}$

$\Rightarrow d=1,0245-e^{-\frac{2692}{395}}\approx 1,0234.$

Vậy khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó là d ≈ 1,0234 (g/cm³).

Gọi A₁, M₁, A₇, M₇ lần lượt là biên độ rung chấn tối đa và độ Richter của trận động đất thứ nhất và trận động đất thứ bảy.

Ta có: M₁ = logA₁ – logA₀ = 5,3 và M₇ = logA₇ – logA₀ = 4.

Do đó, ta có: M₁ – M₇ = logA₁ – logA₀ – logA₇ + logA₀

⇒ 5,3 – 4 = logA₁ – logA₇

_{$\Rightarrow \log \frac{A_1}{A_7}=1,3\Rightarrow \frac{A_1}{A_7}={10}^{1,3}\approx 20.$}

Vậy biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ nhất gấp khoảng 20 biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ bảy.