Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

                   = sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP (đpcm).

Ta có\(\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{5}}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}\).

Vậy \(\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}\) (đpcm).

Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

\({\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \cos \left( {90^\circ - 2\alpha } \right)}}{2} = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\).

Vậy \({\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\) (đpcm).

Vì sin(45°– α) = \(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\) nên sin²(45°– α) = \({\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{1}{8}\).

Theo câu a) ta có \({\sin ^2}\left( {45^\circ - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\), do đó \(\frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2} = \frac{1}{8}\).

Từ đó suy ra \(\sin 2\alpha = \frac{3}{4}\).

Do \(\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\) nên \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{x}{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k6\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k6\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{5} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{{20}} + k2\pi \\2x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{40}} + k\pi \\x = - \frac{{9\pi }}{{40}} + k\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\)      (do \(\cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\))

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\sqrt 3 \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}\)             (do \(\tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\))

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) nên cot(3x + π) = – 1 \( \Leftrightarrow \cot \left( {3x + \pi } \right) = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x + \pi = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x = - \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = 3x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3x = - \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + 3x = \pi + \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2x = k2\pi \\x - 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

\({\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 3x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = - \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3x = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + 3x = - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Sử dụng quan hệ phụ nhau của hai góc lượng giác, ta có:

\(\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{7}\)

\( \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{7}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \frac{{3\pi }}{{14}}\)

\( \Leftrightarrow 3x = \frac{{3\pi }}{{14}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{\pi }{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét h = 0 hay |y| = 0, suy ra y = 0, tức là \(a\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{5}t = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow t = 5k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ge 0} \right)\) (do t ≥ 0).

Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.

Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi t = 2,5 giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại t = 2,5 ta có y = |y| = h = 5 (do bằng bán kính). Khi đó, \(a\sin \left( {\frac{\pi }{5}.2,5} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow a = 5\).

Vậy a = 5.

Từ kết quả câu b, ta có: \(y = 5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\).

Do h = 2,5 cm và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên y = – 2,5.

Với y = – 2,5, ta có: \(5\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - 2,5\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5}t = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5}t = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 5 + 60k}}{6}\\t = \frac{{35 + 60k}}{6}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Với vòng quay đầu tiên thì 0 ≤ t ≤ 10, do đó \(t = \frac{{35}}{6},\,\,t = \frac{{55}}{6}\).

Vậy tại thời điểm \(t = \frac{{35}}{6}\) giây, \(t = \frac{{55}}{6}\) giây thì chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.