Giải SBT Toán 10 CD Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

Gọi d là đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0

Do đó d có vectơ pháp tuyến là:n→=1;−2 .

Do đó d có vectơ chỉ phương là u→=k2;1 .

Như vậy chỉ có phương án A và B là thỏa mãn có vectơ chỉ phương là u→=k2;1 . Do đó đáp án C và D sai.

Xét x=−1+2ty=1+t  đi qua điểm (-1; 1). Mà điểm (-1; 1) thuộc đường thẳng x – 2y + 3 = 0 vì -1 – 2.1 + 3 = 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó đường thẳng ở câu A trùng với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Xét x=1+2ty=−1+t đi qua điểm (1; -1).

Thay x = 1 và y = - 1 vào phương trình đường thẳng x – 2y + 3 = 0, ta được: 1 – 2.(-1) + 3 = 0 ( vô lí). Do đó đường thẳng ý b song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Xét phương trình đường thẳng x=−1+3ty=1−2t  có vectơ chỉ phương  u→= (3; - 2).

Gọi d là đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng đã cho.

Do đó d có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho nên vectơ chỉ phương của d là:  u1→=k2;3với k ∈ ℝ.

Xét các đáp án chỉ có đáp án A thỏa mãn có vectơ chỉ phương u→=−2;−3 là đúng với k = -1.

Vậy chọn đáp án A.

Xét đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến nd→=2;−1 .

Vì ∆ // d nên vectơ pháp tuyến của ∆ là n→=2;−1 .

Đường thẳng ∆ đi qua M( -1; 2) và nhận n→=2;−1  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là: 2(x + 1) – (y – 2) = 0 hay 2x – y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0

Nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là:n→=3;1 .

Đường thẳng ∆ đi qua M( 3; - 4) nên có phương trình tổng quát là:

3(x - 3) + (y + 4) = 0 hay 3x + y - 5 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

Ta thấy vectơ pháp tuyến của Δ1 là:  n1→=1;−2

Vectơ pháp tuyến của Δ1 là: n2→=−2;−1

Ta có:  n1→.n2→=1.−2+−2.−1=0

Suy ra n1→ vuông góc với  n2→

Vậy 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau, chọn đáp án C.

Ta thấy vectơ chỉ phương của Δ1  là:  u1→=3;−1

Vectơ chỉ phương của Δ2  là: u2→=3;1

Ta có: cos u1→,u2→=u1→.u2→u1→.u2→=3.3+−1.13+1.3+1=24=12

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó Δ1,Δ2=u1→,u2→=60o

Vậy chọn đáp án D.

Áp dụng công thức ta có:

d(M, ∆)=  −3.5+2.−2+6−32+22=1313=13

Vậy chọn đáp án B.

a) Vectơ pháp tuyến của d1  là:  n1→=2;−3

Vectơ pháp tuyến của d2  là: n2→=2;1

Ta có: 22≠−31  suy ra hai vectơ  n1→ và n2→  không cùng phương.

Do đó  d1 và d2  cắt nhau.

b) Vectơ chỉ phương của d3  là: u3→=−3;1 nên vectơ pháp tuyến của d3 là: n3→=1;3.

Vectơ pháp tuyến của d4 là: n4→=1;3

Ta có n3→=n4→ nên n3→ và n4→ cùng phương hay d₃ song song hoặc trùng d­₄.

Lấy điểm A(-1; 3) thuộc d₃

Thay tọa độ A(-1; 3) vào  ta có: - 1 + 3.3 – 5 = 3 = 0 (vô lí).

Suy ra A(-1; 3) không thuộc .

Vậy 2 đường thẳng trên song song.

c) Vectơ chỉ phương của d5 là  u5→=−2;1

Vectơ chỉ phương của d6 là u6→=2;−1

Ta thấy u5→=−1.u6→ nên 2 vectơ u5→ và u6→  cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₅ và d₆ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; -1) thuộc đường thẳng d₅. Thay tọa độ điểm M vào phương trình tham số của d6ta có: 2=−2+2t'−1=1−t'⇔t'=2t'=2⇔t'=2

Suy ra M thuộc d6 .

Vậy d₅ trùng d₆.

a) Vectơ pháp tuyến của Δ1  là  n1→=3;1

Vectơ pháp tuyến của Δ2  là n2→=1;2

Góc giữa 2 đường thẳng là: cosΔ1,Δ2=cosn1→,n2→=3.1+1.232+12.12+22=510.5=12

Suy ra Δ1,Δ2=45o.

b) Vectơ chỉ phương của Δ3  là  u3→=3;3

Vectơ chỉ phương của Δ4  là u4→=−3;−1

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 cosΔ1,Δ2=cosu3→,u4→=3.−3+3.−132+32.−32+−12=32

Suy ra Δ3,Δ4=30o .

c) Vectơ pháp tuyến của Δ5  là  n5→=−3;3

Vectơ chỉ phương của Δ6  là  u6→=3;−3nên vectơ pháp tuyến của Δ6  là n6→=3;3 .

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 cosΔ1,Δ2=cosn5→,n6→=−3.3+3.3−32+32.32+32=612=12

Suy ra Δ1,Δ2=60o .

a) Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ1  là  n1→=2;1

Suy ra dA,Δ1=2.−3+1−422+12=95 .

b)  Δ2có vectơ chỉ phương là u2→=3;−1  và đi qua điểm A(-3; 1).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ2   là: n2→=1;3 .

Suy ra phương trình đường thẳng Δ2  là: x + 3 + 3( y – 1) = 0 hay x + 3y = 0

dB,Δ2=1+3.−312+32=810

Gọi Mx0;y0  thuộc Δ1  nên ax0+by0+c=0 .

Khoảng cách giữa Δ1  đến Δ2  bằng khoảng cách từ M đến Δ2  bằng dM,Δ2=ax0+by0+da2+b2=ax0+by0+c+d−ca2+b2=d−ca2+b2

Vậy bài toán được chứng minh.

Vectơ pháp tuyến của Δ1 là: n1→=m;−2;

Vectơ pháp tuyến của  Δ2 là:n2→=1;−2 .

a) ∆₁ // ∆₂ khi n1→ cùng phương với  n2→

hay  m1=−2−2⇔m=1.

Thay m = 1 vào lần lượt hai đường thẳng ∆₁ ta được: x – 2y – 1 = 0.

Lấy M(– 1; 1) thuộc ∆₂, thay x = – 1 và y = 1 vào ∆₁, ta được: – 1 – 2.1 – 1 = 0 (vô lí). Do đó M không thuộc ∆₁.

Vậy m = 1 thỏa mãn để ∆₁ // ∆₂.

b) ∆₁ vuông góc ∆₂ khi  n1→ vuông góc với n2→ hay n1→.n2→=0

⇔ m.1 + (-2).(-2) = 0  m = - 4.

Vậy với m= – 4 thì ∆₁ vuông góc ∆₂.

∆ cách đều A và C khi và chỉ khi ∆đi qua trung điểm của AC hoặc ∆song song với AC.

TH1: ∆ là đi qua trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên tọa độ điểm M là M(2; 3).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là:  MB→=2;−1

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là:  n→=1;2

Do đó phương trình đường thẳng ∆ là: x – 2 + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0

TH2:  song song với AC.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: AC→=8;2 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng∆  là:  n→=1;−4

Phương trình đường thẳng ∆ là: x – 4 – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0.

a) Tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức x=7+36ty=−8+8t

nên tàu A di chuyển theo hướng của vectơ  u1→=36;8

Vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)

Hay tàu B di chuyển theo hướng của vectơ u2→=8;−36

Ta thấy u1→.u2→=36.8+8.−36=0  nên u1→  vuông góc với  u2→

Vì vậy hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.

b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t giờ là: M(7 + 36t; – 8 – 8t)

Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t giờ là: N(9 + 8t; 5 – 36t).

Suy ra  MN→=2−28t;13−44t

 ⇒MN=MN→=2−28t2+13−44t2=2720t−1576802+4761170≥4761170≈5,29km

Vậy MN nhỏ nhất là 5,29km khi t =157680  giờ.