Giải SBT Toán 10 CD Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

c) Vectơ chỉ phương của $d_5$  là  $\overrightarrow{u_5}=\left(-2;1\right)$

Vectơ chỉ phương của $d_6$  là $\overrightarrow{u_6}=\left(2;-1\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u_5}=\left(-1\right).\overrightarrow{u_6}$  nên 2 vectơ $\overrightarrow{u_5}$  và $\overrightarrow{u_6}$   cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₅ và d₆ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; -1) thuộc đường thẳng d₅. Thay tọa độ điểm M vào phương trình tham số của $d_6$ta có: $\left\{\begin{array}{l}2=-2+2t\text{'}\\ -1=1-t\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\text{'}=2\\ t\text{'}=2\end{array}\right.\iff t\text{'}=2$

Suy ra M thuộc $d_6$  .

Vậy d₅ trùng d₆.

a) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(3;1\right)$

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_2$  là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;2\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|3.1+1.2\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={45}^o$.

b) Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_3$  là  $\overrightarrow{u_3}=\left(\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_4$  là $\overrightarrow{u_4}=\left(-\sqrt{3};-1\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_3},\overrightarrow{u_4}\right)\right|=\frac{\left|\sqrt{3}.\left(-\sqrt{3}\right)+3.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_3,{\Delta }_4\right)={30}^o$ .

c) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_5$  là  $\overrightarrow{n_5}=\left(-\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_6$  là  $\overrightarrow{u_6}=\left(3;-\sqrt{3}\right)$nên vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_6$  là $\overrightarrow{n_6}=\left(\sqrt{3};3\right)$ .

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_5},\overrightarrow{n_6}\right)\right|=\frac{\left|\left(-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}+3.3\right|}{\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={60}^o$ .

a) Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(2;1\right)$

Suy ra $d\left(A,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)+1-4\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$  là: $\overrightarrow{n_1}=\left(m;-2\right)$ ;

Vectơ pháp tuyến của  ${\Delta }_2$ là:$\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)$ .

a) ∆₁ // ∆₂ khi $\overrightarrow{n_1}$  cùng phương với  $\overrightarrow{n_2}$

hay  $\frac{m}{1}=\frac{-2}{-2}$$\iff m=1$ .

Thay m = 1 vào lần lượt hai đường thẳng ∆₁ ta được: x – 2y – 1 = 0.

Lấy M(– 1; 1) thuộc ∆₂, thay x = – 1 và y = 1 vào ∆₁, ta được: – 1 – 2.1 – 1 = 0 (vô lí). Do đó M không thuộc ∆₁.

Vậy m = 1 thỏa mãn để ∆₁ // ∆₂.

b) ∆₁ vuông góc ∆₂ khi  $\overrightarrow{n_1}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_2}$  hay $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$

⇔ m.1 + (-2).(-2) = 0  m = - 4.

Vậy với m= – 4 thì ∆₁ vuông góc ∆₂.

$∆$ cách đều A và C khi và chỉ khi $∆$ đi qua trung điểm của AC hoặc $∆$ song song với AC.

TH1: ∆ là đi qua trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên tọa độ điểm M là M(2; 3).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{MB}=\left(2;-1\right)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$

Do đó phương trình đường thẳng $∆$  là: x – 2 + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0

TH2:  song song với AC.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$  là: $\overrightarrow{AC}=\left(8;2\right)$  nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng$∆$  là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;-4\right)$

Phương trình đường thẳng $∆$  là: x – 4 – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0.

a) Tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{c}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{array}\right.$

nên tàu A di chuyển theo hướng của vectơ  $\overrightarrow{u_1}=\left(36;8\right)$

Vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)

Hay tàu B di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{u_2}=\left(8;-36\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=36.8+8.\left(-36\right)=0$  nên $\overrightarrow{u_1}$  vuông góc với  $\overrightarrow{u_2}$

Vì vậy hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.

b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t giờ là: M(7 + 36t; – 8 – 8t)

Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t giờ là: N(9 + 8t; 5 – 36t).

Suy ra  $\overrightarrow{MN}=\left(2-28t;13-44t\right)$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(2-28t\right)}^2+{\left(13-44t\right)}^2}\\ =\sqrt{2720{\left(t-\frac{157}{680}\right)}^2+\frac{4761}{170}}\ge \sqrt{\frac{4761}{170}}\approx \mathrm{5,29}km\end{array}$

Vậy MN nhỏ nhất là 5,29km khi t =$\frac{157}{680}$  giờ.