Giải SBT Toán 10 CD Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

Gọi d là đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0

Do đó d có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ .

Do đó d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=k\left(2;1\right)$ .

Như vậy chỉ có phương án A và B là thỏa mãn có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=k\left(2;1\right)$ . Do đó đáp án C và D sai.

Xét $\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1+t\end{array}\right.$  đi qua điểm (-1; 1). Mà điểm (-1; 1) thuộc đường thẳng x – 2y + 3 = 0 vì -1 – 2.1 + 3 = 0 = 0 (luôn đúng).

Do đó đường thẳng ở câu A trùng với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Xét $\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+t\end{array}\right.$ đi qua điểm (1; -1).

Thay x = 1 và y = - 1 vào phương trình đường thẳng x – 2y + 3 = 0, ta được: 1 – 2.(-1) + 3 = 0 ( vô lí). Do đó đường thẳng ý b song song với đường thẳng x – 2y + 3 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Xét phương trình đường thẳng $\left\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=1-2t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương  $\overrightarrow{u}$= (3; - 2).

Gọi d là đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng đã cho.

Do đó d có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho nên vectơ chỉ phương của d là:  $\overrightarrow{u_1}=k\left(2;3\right)$với k ∈ ℝ.

Xét các đáp án chỉ có đáp án A thỏa mãn có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;-3\right)$ là đúng với k = -1.

Vậy chọn đáp án A.

Xét đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=\left(2;-1\right)$ .

Vì ∆ // d nên vectơ pháp tuyến của ∆ là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua M( -1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là: 2(x + 1) – (y – 2) = 0 hay 2x – y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án B.

Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0

Nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua M( 3; - 4) nên có phương trình tổng quát là:

3(x - 3) + (y + 4) = 0 hay 3x + y - 5 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

Ta thấy vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$ là:  $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$ là: $\overrightarrow{n_2}=\left(-2;-1\right)$

Ta có:  $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.\left(-2\right)+\left(-2\right).\left(-1\right)=0$

Suy ra $\overrightarrow{n_1}$ vuông góc với  $\overrightarrow{n_2}$

Vậy 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau, chọn đáp án C.

Ta thấy vectơ chỉ phương của ${\Delta }_1$  là:  $\overrightarrow{u_1}=\left(\sqrt{3};-1\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_2$  là: $\overrightarrow{u_2}=\left(\sqrt{3};1\right)$

Ta có: cos $\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)$$=\frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}+\left(-1\right).1}{\sqrt{3+1}.\sqrt{3+1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa 2 đường thẳng chính là góc nhọn giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó.

Do đó $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)={60}^o$

Vậy chọn đáp án D.

Áp dụng công thức ta có:

d(M, ∆)=  $\frac{\left|\left(-3\right).5+2.\left(-2\right)+6\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án B.

a) Vectơ pháp tuyến của $d_1$  là:  $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-3\right)$

Vectơ pháp tuyến của $d_2$  là: $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$

Ta có: $\frac{2}{2}\ne \frac{-3}{1}$  suy ra hai vectơ  $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$  không cùng phương.

Do đó  $d_1$ và $d_2$  cắt nhau.

c) Vectơ chỉ phương của $d_5$ là  $\overrightarrow{u_5}=\left(-2;1\right)$

Vectơ chỉ phương của $d_6$ là $\overrightarrow{u_6}=\left(2;-1\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u_5}=\left(-1\right).\overrightarrow{u_6}$ nên 2 vectơ $\overrightarrow{u_5}$ và $\overrightarrow{u_6}$  cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₅ và d₆ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; -1) thuộc đường thẳng d₅. Thay tọa độ điểm M vào phương trình tham số của $d_6$ta có: $\left\{\begin{array}{l}2=-2+2t\text{'}\\ -1=1-t\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\text{'}=2\\ t\text{'}=2\end{array}\right.\iff t\text{'}=2$

Suy ra M thuộc $d_6$ .

Vậy d₅ trùng d₆.

a) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(3;1\right)$

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_2$  là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;2\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|3.1+1.2\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={45}^o$.

b) Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_3$  là  $\overrightarrow{u_3}=\left(\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_4$  là $\overrightarrow{u_4}=\left(-\sqrt{3};-1\right)$

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_3},\overrightarrow{u_4}\right)\right|=\frac{\left|\sqrt{3}.\left(-\sqrt{3}\right)+3.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_3,{\Delta }_4\right)={30}^o$ .

c) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_5$  là  $\overrightarrow{n_5}=\left(-\sqrt{3};3\right)$

Vectơ chỉ phương của ${\Delta }_6$  là  $\overrightarrow{u_6}=\left(3;-\sqrt{3}\right)$nên vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_6$  là $\overrightarrow{n_6}=\left(\sqrt{3};3\right)$ .

Góc giữa 2 đường thẳng là:

 $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_5},\overrightarrow{n_6}\right)\right|=\frac{\left|\left(-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}+3.3\right|}{\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+3^2}.\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={60}^o$ .

a) Ta có: vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta }_1$  là  $\overrightarrow{n_1}=\left(2;1\right)$

Suy ra $d\left(A,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)+1-4\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

Vectơ pháp tuyến của ${\Delta }_1$ là: $\overrightarrow{n_1}=\left(m;-2\right)$;

Vectơ pháp tuyến của  ${\Delta }_2$ là:$\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2\right)$ .

a) ∆₁ // ∆₂ khi $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương với  $\overrightarrow{n_2}$

hay  $\frac{m}{1}=\frac{-2}{-2}$$\iff m=1$.

Thay m = 1 vào lần lượt hai đường thẳng ∆₁ ta được: x – 2y – 1 = 0.

Lấy M(– 1; 1) thuộc ∆₂, thay x = – 1 và y = 1 vào ∆₁, ta được: – 1 – 2.1 – 1 = 0 (vô lí). Do đó M không thuộc ∆₁.

Vậy m = 1 thỏa mãn để ∆₁ // ∆₂.

b) ∆₁ vuông góc ∆₂ khi  $\overrightarrow{n_1}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_2}$ hay $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$

⇔ m.1 + (-2).(-2) = 0  m = - 4.

Vậy với m= – 4 thì ∆₁ vuông góc ∆₂.

$∆$ cách đều A và C khi và chỉ khi $∆$đi qua trung điểm của AC hoặc $∆$song song với AC.

TH1: ∆ là đi qua trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên tọa độ điểm M là M(2; 3).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{MB}=\left(2;-1\right)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$

Do đó phương trình đường thẳng $∆$ là: x – 2 + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0

TH2:  song song với AC.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$ là: $\overrightarrow{AC}=\left(8;2\right)$ nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng$∆$  là:  $\overrightarrow{n}=\left(1;-4\right)$

Phương trình đường thẳng $∆$ là: x – 4 – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0.

a) Tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{c}x=7+36t\\ y=-8+8t\end{array}\right.$

nên tàu A di chuyển theo hướng của vectơ  $\overrightarrow{u_1}=\left(36;8\right)$

Vị trí của tàu B có tọa độ là (9 + 8t; 5 – 36t)

Hay tàu B di chuyển theo hướng của vectơ $\overrightarrow{u_2}=\left(8;-36\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=36.8+8.\left(-36\right)=0$  nên $\overrightarrow{u_1}$  vuông góc với  $\overrightarrow{u_2}$

Vì vậy hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.

b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t giờ là: M(7 + 36t; – 8 – 8t)

Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t giờ là: N(9 + 8t; 5 – 36t).

Suy ra  $\overrightarrow{MN}=\left(2-28t;13-44t\right)$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(2-28t\right)}^2+{\left(13-44t\right)}^2}\\ =\sqrt{2720{\left(t-\frac{157}{680}\right)}^2+\frac{4761}{170}}\ge \sqrt{\frac{4761}{170}}\approx \mathrm{5,29}km\end{array}$

Vậy MN nhỏ nhất là 5,29km khi t =$\frac{157}{680}$  giờ.