20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến trục \(Oy\) là
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0}} \right|\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{y_0}} \right|\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = {y_0}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = {x_0}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0}} \right|\). Chọn A.
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là
\(13\).
\(\frac{1}{{13}}\).
\( - 1\).
\(1\).
Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\). Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {4;0} \right)\). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng
\(3\).
\(\frac{1}{{25}}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{3}{5}\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\).
Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{5}\). Chọn C.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 3y - 10 = 0\).
Vuông góc.
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Song song.
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\).
Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.
Lại có \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc \({d_1}\) và thuộc \({d_2}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Chọn B.
Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 3 = 0\) và \({d_2}:3x + y + 2 = 0\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Khi đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \]. Chọn A.
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Khi đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \]. Chọn A.
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:4x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}:x - 2y - 2 = 0\). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{2}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
\(\cos \alpha = 1\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{5}\]. Chọn B.
Cosin của góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t + 1\end{array} \right.\) và \(d':x + 2y - 1 = 0\) là
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
\(\frac{{ - 3\sqrt {10} }}{{10}}\).
\(\frac{{ - \sqrt {10} }}{{10}}\).
\(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\).
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Chọn A.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).
Vuông góc.
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Song song.
Đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right) = - 3\left( {1; - 2} \right) = - 3\overrightarrow {{n_1}} \).
Do đó \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
Lại có \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\). Do đó \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Chọn D.
Đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 7 = 0\) cắt đường thẳng nào dưới đây?
\({d_3}: - 3x + 2y - 7 = 0\).
\({d_4}:6x - 4y - 14 = 0\).
d1 : 3x - 2y =0
\({d_2}:3x - 2y = 0\).
Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;2} \right)\).
Hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\). Chọn C.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:4x - 3y - 1 = 0\) và \({d_2}:3x + 4y - 10 = 0\).
Vuông góc.
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Song song.
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 3} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Có \(4 \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot 4 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\). Chọn A.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {4;2} \right)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(3x - 4y + 2 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\).
Điểm \(A\left( {1;1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{1}{5}\).
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\).
c) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.
Do đó \(A\left( {1;1} \right)\) không nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).
d) \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y - 1 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và điểm \(N\left( {1;4} \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(N\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{9}{2}\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N\)cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B\). Giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.
a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).
Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).
d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:
\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 5y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0\) và \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _3}\) là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) có tọa độ là \(\left( {2;5} \right)\).
Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _3}\) là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;3} \right)\).
b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) có tọa độ là \(\left( {2; - 5} \right)\).
c) Đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 5} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3} \right)\).
Hai vectơ này không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.
d) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\x + 3y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\left( {2;1} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:3x - 4y + 9 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _2}\) bằng 1.
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right)\) và \(M = {\Delta _1} \cap {\Delta _2}\) nhận được cùng một thời điểm. Vị trí phát tín hiệu âm thanh là \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).
a) \(d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\left( {3; - 4} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
c) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {1;3} \right)\).
Giả sử \(I\left( {a;b} \right)\).
Theo đề ta có \(IO = IA = IM\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 5t\\y = 2 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:3x - 7y - 3 = 0\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \({d_1}\) là \(2x - 5y - 2 = 0\).
\({d_1}\) cắt \({d_2}\).
Góc giữa hai đường thẳng bằng \(45^\circ \).
a) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {5; - 2} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\).
b) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(\left( { - 4;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0\).
c) Ta có \(\overrightarrow n = \left( {2;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).
Ta thấy \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.
d) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{29\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0\) và \(\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0\) là bao nhiêu độ?
Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) nên ta có
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).
Cho đường thẳng \(d:3x + 4y - 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta :3x + by + c = 0\left( {c > - 5} \right)\) song song với \(d\) và cách \(A\left( {1;1} \right)\) một khoảng bằng 1. Tính \(b + c\).
Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).
Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.\).
Mà \(c > - 5\) nên \(c = - 2\).
Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).
Suy ra \(b = 4;c = - 2\). Vậy \(b + c = 2\).
Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\), vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Tính góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A,B\) (đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0,00483 \Rightarrow \varphi \approx 89,7^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có phương trình đường thẳng chứa các cạnh \(AB,AC,BC\) lần lượt là \(x + 2y - 1 = 0;x + y + 2 = 0;2x + 3y - 5 = 0\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 5;3} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 \cdot 3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1,67\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a < 2} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:3x - y + 4 = 0\) và \(\Delta \) cách \(A\left( {3;2} \right)\) một khoảng \(2\sqrt {10} \). Tính giá trị biểu thức \(T = 3a + b + 4c.\)
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).
Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = - 29\end{array} \right.\).
Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).
Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).
