10 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ viết dưới dạng phương trình tổng quát là:

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}\iff 4\left(x-1\right)=3\left(y-2\right)$

⇔4x – 3y + 2 = 0.

Khoảng cách từ điểm M(2;0) đến đường thẳng Δ là $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|4\cdot 2-3\cdot 0+2\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=t\end{array}\right.$ được viết thành: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{1}$ hay x – 3y – 2 = 0.

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ chính là khoảng cách từ điểm M đến ∆, và bằng:

$d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|15-3\cdot 1-2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng:

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|m\cdot \left(-1\right)+2-m+4\right|}{\sqrt{m^2+1^2}}=2\sqrt{5}$

$\iff \left|m-3\right|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{m^2+1}\iff m^2-6m+9=5\left(m^2+1\right)$

$\iff 4m^2+6m-4=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì (C) tiếp xúc với ∆ nên khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ chính là bán kính của đường tròn, và bằng:

$R=d\left(O,\Delta \right)=\frac{\left|8\cdot 0+6\cdot 0+100\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{100}{10}=10.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d\left(7;1\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_d\left(1;-7\right).$

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }\left(1;-7\right).$

Do đó hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau.

Lấy A(–2; 2) ∈ ∆. Khi đó $d\left(d,\Delta \right)=d\left(A,d\right)=\frac{\left|7\cdot \left(-2\right)+2-3\right|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$