Giải SBT Toán 10 Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ có đáp án
11 câu hỏi
Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 12 và trục nhỏ bằng 8;
a) Ta có:
Trục lớn 2a = 12 ⇒ a = 6;
Trục bé 2b = 8 ⇒ b = 4.
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: x236+y216=1 .
b) Hypebol có tiêu cự 2c = 18 và độ dài trục thực 2a = 14;
b) Ta có:
Tiêu cự 2c = 18 ⇒ c = 9.
Trục thực 2a = 14 ⇒ a = 7.
Mặt khác, ta có: b2 = c2 – a2 = 92 – 72 = 32.
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là: x249−y232=1.
c) Parabol có tiêu điểm F(5; 0).
c) Parabol có tiêu điểm F(5; 0) nên ta có p2=5 suy ra p = 10.
Vậy Parabol có phương trình y2 = 20x.
Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm toạ độ các tiêu điểm của chúng.
a) C1:7x2+13y2=1;
a) C1:7x2+13y2=1
⇔x217+y2113=1
Đây là phương trình chính tắc của Elip:
Ta có a=77;b=1313 và c = a2−b2=17−113=54691 .
Các tiêu điểm F1−54691;0;F254691;0 .
b) C2:25x2−9y2=225
b) (C2): 25x2 – 9y2 = 225
⇔x29−y225=1
⇔x232−y252=1
Đây là phương trình chính tắc của Hypebol:
Ta có a = 3; b = 5 và c2 = a2 + b2 = 32 + 52 = 34.
Các tiêu điểm F1=−34;0,F234;0.
c) C3:x=2y2
c) (C3): x = 2y2
⇔ y2 = 12x.
Đây là phương trình chính tắc của Parabol.
Ta có 2p = 12 suy ra p = 14
Tiêu điểm F18;0.
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 1 m và trục nhỏ là 0,6 m từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 1 m x 0,6 m, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị:
- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tâm ván.
- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chỉ vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip. (Xem minh hoạ trong Hình 10).
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Ta có:
Trục lớn 2a = 1 ⇒ a = 0,5.
Trục bé 2b = 0,6 ⇒ b = 0,3.
Khi đó: c2 = a2 – b2 = 0,52 – 0,32 = 0,16
⇒ c = 0,4 m = 40 cm
Các tiêu điểm F1(- 40, 0), F2(40; 0)
Độ dài vòng dây là: MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 2.0,5 + 2. 0,4 = 1,8 m.
Vậy hai cái đinh để cách mép phải và mép trái của tấm ván ép 10 cm. Lấy vòng dây có độ dài 1,8 m = 180 cm.
Thang leo gợn sóng cho trẻ em trong công viên có hai khung thép cong hình nửa elip cao 100 cm và khoảng cách giữa hai chân là 240 cm.
a) Hãy chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình chính tắc của elip nói trên.
a) Ta có a = 120; b = 100.
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: x214400+y210000=1.
b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân khung 20 cm lên đến khung thép.
b)
Giả sử thang có hình Elip như hình vẽ
Gọi F là điểm cách chân khung 20 cm.
⇒ OF = 120 – 20 = 100 cm.
Suy ra độ dài đoạn FE là khoảng cách cần tìm.
Vậy toạ độ của E(100; y); (y > 0)
Vì E thuộc Elip nên ta có 100214400+y210000=1⇔ y2 = 275009
⇒y=50113
Vậy E100;50113
Ta có khoảng cách thẳng đứng từ điểm cách chân khung 20 cm đến khung thép là 50113≈ 55 cm.
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình x2302−y2502=1. Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 12 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.
Gọi bán kính nóc tháp là r, đáy tháp là R
Vì khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 12 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy nên ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối là 40 m, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là 80 m.
Do điểm M(r, 40) và điểm N(R; - 80) thuộc hypebol nên ta có:
r2302−402502=1⇒r=301+402502=641≈ 38 m
R2302−(−80)2502=1⇒R=301+(−80)2502=689≈57 m
Vậy bán kính nóc tháp là 38 m; bán kính đáy tháp là 57 m.
Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 120 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 48 m, thanh ngắn nhất là 8 m (Hình 12). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 20 m.
Ta chọn hệ quy chiếu như hình vẽ.
Parabol có phương trình y2 = 2px (p > 0).
Thay toạ độ điểm M(40; 60) vào phương trình ta được
602 = 2.p.40 ⇒ p = 45
Vậy phương trình chính tắc của Parabol là: y2 = 90x
Vì thanh cách điểm giữa cầu là 20 m nên ta có điểm N(x; 20) thuộc Parabol nên ta có: 202 = 90.x ⇒x=4,4
Vậy thanh có độ dài 8 + 4,4 = 12,4 m.
