20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{6} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\). Trên \(\left( H \right)\) lấy điểm \(M\) bất kì ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right|\) bằng
\(\sqrt 6 \).
\(6\).
\(2\sqrt 6 \).
\(12\).
\(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 2\sqrt 6 \). Chọn C.
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 6x\). Đường chuẩn của parabol \(\left( P \right)\) là
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{1}{3}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{3}{2}\) là phương trình đường chuẩn của parabol. Chọn C.
Cho Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 8x\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {2;0} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0;2} \right)\).
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0; - 2} \right)\)
\(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {2;0} \right)\). Chọn B.
Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(\left( H \right)\) đi qua các điểm \(M\left( {4;\sqrt 8 } \right)\) và \(N\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)\)
\({x^2} - {y^2} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).
Gọi \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > 0,b > 0} \right)\).
Vì \(\left( H \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\sqrt 8 } \right)\) và \(N\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{8}\\\frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 8\\{b^2} = 8\end{array} \right.\). Vậy \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\). Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng \(2\sqrt 5 \) là
\(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{{2\sqrt 5 }} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\{b^2} = 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 20\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\). Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {4;0} \right)\). Giá trị của \(p\) bằng
\(4\).
\(2\).
\(16\).
\(8\).
Ta có \(\frac{p}{2} = 4 \Rightarrow p = 8\). Chọn D.
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là phương trình chính tắc của elip. Chọn B.
Tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) là
\({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - 7;0} \right),{F_2}\left( {7;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 7 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 7 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\) là hai tiêu điểm của hypebol. Chọn C.
Các tiêu điểm của Elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là
\({F_1}\left( {3;0} \right),{F_2}\left( {0; - 3} \right)\).
\({F_1}\left( {\sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {0; - \sqrt 8 } \right)\).
\({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {0; - 3} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\).
\({F_1}\left( { - \sqrt 8 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 8 ;0} \right)\) là các tiêu điểm của elip. Chọn D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu cự của \(\left( E \right)\).
\({F_1}{F_2} = 12\).
\({F_1}{F_2} = 8\).
\({F_1}{F_2} = 2\sqrt 5 \).
\({F_1}{F_2} = 4\sqrt 5 \).
\({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {36 - 16} = 4\sqrt 5 \). Chọn D.
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình dạng chính tắc. Biết \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {1;1} \right)\)
Phương trình chính tắc của \(\left( P \right)\) là \({y^2} = x\).
Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).
Đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\).
Một điểm \(M\) nằm trên \(\left( P \right)\) có tung độ \(y = - 2\) thì \(MF = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
a) Gọi \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) nên \(1 = 2p \cdot 1 \Leftrightarrow p = \frac{1}{2}\).
Vậy \({y^2} = x\).
b) Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\).
c) Đường chuẩn của \(\left( P \right)\) là \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\).
d) Có \({\left( { - 2} \right)^2} = x \Rightarrow x = 4\).
Vậy \(M\left( {4; - 2} \right)\). Khi đó \(MF = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4} - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = \frac{{17}}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Có \(a = 2;b = 3\).
Hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).
Điểm \(M\left( {5;{y_M}} \right)\) với \({y_M} > 0\) nằm trên hypebol có tung độ \({y_M} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}\).
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hypebol tại hai điểm \(A,B\). Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(3\sqrt 2 \).
a) Có \(a = 2;b = 3\).
b) \({F_1}\left( { - \sqrt {13} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\) là hai tiêu điểm của hypebol.
c) \(M\left( {5;{y_M}} \right)\) thuộc hypebol nên \(\frac{{{5^2}}}{4} - \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1 \Rightarrow y_M^2 = \frac{{189}}{4} \Rightarrow {y_M} = \frac{{3\sqrt {21} }}{2}\) (vì \({y_M} > 0\)).
d) Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\sqrt 2 \\y = 3\end{array} \right.\).
Suy ra \(AB = 4\sqrt 2 \).
Khi đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}d\left( {O,y = 3} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt 2 = 6\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Có \({a^2} = 25;{b^2} = 9\).
Elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\).
Elip cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \({A_1}\left( { - 6;0} \right);{A_2}\left( {6;0} \right)\).
Elip cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm tạo thành hình thoi có diện tích bằng 15.
a) \({a^2} = 25;{b^2} = 9\).
b) \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\).
Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right);{F_2}\left( {4;0} \right)\).
c) Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5\).
Vậy elip cắt cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là \({A_1}\left( { - 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right)\).
d) Cho \(x = 0 \Rightarrow {y^2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\).
Vậy elip cắt trục tung tại 2 điểm có tọa độ là \({B_1}\left( {0; - 3} \right);{B_2}\left( {0;3} \right)\).
Khi đó diện tích hình thoi \({A_1}{B_1}{A_2}{B_2}\) là \(S = {A_1}{A_2} \cdot {B_1}{B_2} = 60\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\).
Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
Elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
Elip \(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 10.
Với điểm \(M\) bất kì thuộc elip \(\left( E \right)\), khi đó tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) bằng 26.
a) Tọa độ một tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \(\left( {5;0} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy Elip \(\left( E \right)\)không đi qua điểm \(A\left( {13; - 12} \right)\).
c) Ta có \(c = \sqrt {169 - 144} = 5\). Suy ra \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).
d) \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho elip \(\left( E \right)\) có một tiêu điểm \(F\left( {5;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {0;3} \right)\).
Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{34}} = 1\).
\(\left( E \right)\) cắt trục hoành tại điểm \(A,B\) có \(AB = 2\sqrt {34} \).
Tiêu cự \({F_1}{F_2} = 10\).
Đường thẳng \(d:2x - y = 0\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm \(M,N\) có \(MN = 7\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Gọi \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Vì \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\) nên \(\frac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\).
Mà \(\left( E \right)\) có một tiêu điểm \(F\left( {5;0} \right)\) nên \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 5 \Rightarrow {a^2} = 34\).
Vậy \[\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].
b) Cho \(y = 0 \Rightarrow {x^2} = 34 \Rightarrow x = \pm \sqrt {34} \).
Do đó \(A\left( { - \sqrt {34} ;0} \right),B\left( {\sqrt {34} ;0} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {34} \).
c) Ta có \(c = 5 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 10\).
d) Tọa độ điểm \(M,N\)là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\2x - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{4{x^2}}}{9} = 1\\y = 2x\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{306}}{{145}}\\y = 2x\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} \\y = 2x\end{array} \right.\].
Suy ra \(M\left( { - \sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ; - 2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right);N\left( {\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} ;2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)\).
Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt {\frac{{306}}{{145}}} } \right)}^2}} \approx 6\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left( E \right)\) thỏa mãn \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\). Tính \(5M{F_1} + M{F_2}\).
Vì \(M \in \left( E \right)\)nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\) mà \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = 5\\M{F_2} = 3\end{array} \right.\).
Do đó \(5M{F_1} + M{F_2} = 28\).
Hai tháp vô tuyến cách nhau 200 km được đặt dọc bờ biển với A nằm về phía Tây đối với \(B\). Các tín hiệu vô tuyến được gửi đồng thời từ mỗi tháp tới một con tàu và tín hiệu ở \(B\) nhận được sớm hơn 500 micro giây trước tín hiệu ở \(A\). Giả sử rằng các tín hiệu vô tuyến truyền đi với vận tốc 300 mét/micro giây và con tàu nằm về phía Bắc của tháp \(B\) thì tàu cách bờ biển bao xa? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Theo đề bài con tàu nhận được tín hiệu từ \(B\) sớm hơn từ \(A\) 500 micro giấy.
Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ con tàu tới \(A\) và \(B\) là \(500 \cdot 300 = 150000 = 150\;{\rm{km}}\).
Hiệu khoảng cách này là \(2a = 150 \Rightarrow a = 75\).
Con tàu nằm trên một nhánh của hypebol, với hai tháp vô tuyến \(A\) và \(B\) là hai tiêu điểm, \(A\) và \(B\) cách nhau 200 km, nghĩa là \(2c = 200 \Rightarrow c = 100\).
Theo tính chất của hypebol ta có \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{75}^2}} = \sqrt {4375} \).
Phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{5625}} - \frac{{{y^2}}}{{4375}} = 1\).
Vì con tàu nằm ở phía Bắc của tháp \(B\), nghĩa là có hoành độ \(x = c = 100\).
Thay \(x = 100\) vào phương trình ta có \(y \approx 58,3\).
Vậy tàu cách bờ biển 58,3 km.
Cho \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Một điểm \(A \in \left( P \right)\). Nếu khoảng cách từ \(A\) đến đường chuẩn bằng 5 thì khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành bằng bao nhiêu?
Ta có \(A \in \left( P \right) \Rightarrow A\left( {{m^2};2m} \right)\), đường chuẩn \(\Delta :x = - 1\).
Khoảng cách từ \(A\) đến đường chuẩn \(d\left( {A,\Delta } \right) = \left| {{m^2} + 1} \right| = 5 \Rightarrow {m^2} = 4\).
Khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành bằng \(\left| {2m} \right| = 4\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Điểm \(M\left( {a;b} \right),\left( {a > 0,b > 0} \right)\) thuộc \(\left( H \right)\) thỏa mãn \(OM = \sqrt {11} \). Giá trị của \(b\) bằng bao nhiêu?
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - \frac{{{b^2}}}{9} = 1\\{a^2} + {b^2} = 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 2\\{b^2} = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(b = 3\) vì \(b > 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d:x - 2y = 0\) cắt parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\) tại hai điểm phân biệt \(M,N\). Giá trị của \(M{N^2}\) bằng bao nhiêu?
Tọa độ điểm \(M,N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 4x\\x - 2y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 8y\\x = 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 8\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {0;0} \right),N\left( {16;8} \right)\). Do đó \(M{N^2} = {16^2} + {8^2} = 320\).
