Giải SBT Toán 10 Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án
8 câu hỏi
Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh rằng: AC→=3AG→.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó AO→ = 12 AC→.
G là trọng tâm tam giác ABD ⇒ AG→ = 23AO→.
Vậy AG→ = 23.12AC→ = 13AC→ hay AC→=3AG→.
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:
a) 2DA→+DB→+DC→=0→;
a) Vì M là trung điểm của BC nên: DB→+DC→=2DM→.
Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên DM→=−DA→
Vậy nên DB→ + DC→ = –2DA→ hay 2DA→+DB→+DC→=2DA→−2DA→=0→.
b) 2OA→+OB→+OC→=4OD→, với O là điểm tùy ý.
Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA→+MB→=2MI→.
b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA→+MB→+MC→=3MG→.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3KA→+2KB→=0→.
Vì 3KA→+2KB→=0→ nên 3KA→= –2KB→
Suy ra KA→= -23 KB→ = −23 (KA→+ AB→)
Do đó 52KA→= −23AB→.
Nên AK→= 25AB→.
Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = 25AB.
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: MN→=12AC→.
Tương tự ta có: PQ→ = 12 CE→; RS→=12 EA→ .
Suy ra MN→+ PQ→ +RS→=12( AC→+CE→+EA→)=12(AE→+ EA→)= 0→
Vậy MN→+ PQ→ +RS→=0→
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: GM→ + GP→+GR→=0→
Ta lại có:
MN→=MG→+GN→ ; PQ→=PQ→+GQ→ ; RS→= RG→+ GS→
Suy ra MN→+ PQ→+RS→=MG→+ GN→+PG→+GQ→+RG→+GS→
=MG→+PG→+ RG→+ GN→+ GQ→+GS→=0→
Mà GM→+GP→+ GR→=0→ ⇒ - (GM→+ GP→+ GR→)= 0→⇒ MG→+PG→+RG→= 0→.
Do đó GN→+ GQ→+ GS→= 0→
Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.
Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Máy bay A với vận tốc a→, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc b→ của máy bay B theo vectơ vận tốc a→ của máy bay A.
Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A nên vectơ vận tốc của máy bay B là: b→=12a→.
