5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)
5 câu hỏi
Cho ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng, gọi M là điểm thỏa mãn MA→=xMB→+yMC→. Giá trị của x + y bằng
x + y = 1;
x + y = 2;
x + y = 3;
x + y = 0.
Đáp án đúng là: B
Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên AB→ và AC→ không cùng phương.
Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho AM→=xAB→+yAC→, ∀M.
⇔AM→=xAM→+MB→+yAM→+MC→
⇔AM→=xAM→+xMB→+yAM→+yMC→
⇔1−x−yAM→=xMB→+yMC→
⇔x+y−1MA→=xMB→+yMC→
Theo bài ta có MA→=xMB→+yMC→
Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M bất kì và số thực k dương. Biết điểm M thỏa mãn đẳng thức MA→+MB→+MC→+MD→=k. Quỹ tích của điểm M là
1 đoạn thẳng;
1 đường tròn;
1 điểm;
1 đường thẳng.
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.
Do đó với điểm M bất kì thì 2MI→=MA→+MC→2MI→=MB→+MD→
Để MA→+MB→+MC→+MD→=k
⇔2MI→+2MI→=k
⇔4MI→=k⇔MI→=k4
⇔MI=k4 (*)
Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I bán kính R=k4.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→+MB→=MA→+MC→ là
đường trung trực đoạn thẳng BC;
đường tròn đường kính BC;
đường tròn tâm G, bán kính a;
đường trung trực đoạn thẳng AG.
Đáp án đúng là: A
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Khi đó MA→+MB→=2MI→MA→+MC→=2MJ→.
Theo bài ta có MA→+MB→=MA→+MC→
⇔2 MI→=2 MJ→⇔MI=MJ.
Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→+MB→=MA→+MC→ là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó IJ // BC.
Suy ra tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Cho tam giác ABC, gọi M là điểm bất kì thỏa mãn MA→+MB→+MC→=3. Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn đẳng thức trên?
3
2
1
Vô số.
Đáp án đúng là: D
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: GA→+GB→+GC→=0→.
Ta có MA→+MB→+MC→=3
⇔ GA→−GM→+GB→−GM→+GC→−GM→=3
⇔ GA→+GB→+GC→−3GM→=3
⇔ 3 GM→=3 ⇔ GM=1.
Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.
Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
R=a3;
R=a9;
R=a2;
R=a6.
Đáp án đúng là : B
Ta có: 2MA→+3MB→+4MC→
=2MI→+IA→+3MI→+IB→+4MI→+IC→.
=9MI→+2IA→+3IB→+4IC→
Ta chọn điểm I sao cho 2IA→+3IB→+4IC→=0→
⇔3IA→+IB→+IC→+IC→−IA→=0→. (1)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó IA→+IB→+IC→=3 IG→ (2)
Thay (2) vào (1) ta được: 9 IG→+IC→−IA→=0→
⇔9 IG→+AI→+IC→=0→
⇔9IG→+AC→=0→⇔9 IG→=CA→ (3)
Do đó 2MA→+3MB→+4MC→=MB→−MA→
⇔9MI→+2IA→+3IB→+4IC→=AB→
⇔9MI→=AB→ (do 2IA→+3IB→+4IC→=0→)
⇔9MI=AB⇔IM=AB9
Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính R=AB9=a9.
