ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương pháp quy nạp toán học và dãy số

Trả lời:

Ta có:

$u_1=-\frac{1}{2};u_2=-\frac{2}{3};u_3=-\frac{3}{4};u_4=-\frac{4}{5};u_5=-\frac{5}{6}$

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta có:

$u_1=\frac{1}{2}$

$u_2=u_1+2.2=\frac{1}{2}+4=\frac{1}{2}+2.2$

$u_3=u_2+2.3=\frac{1}{2}+4+6=\frac{1}{2}+2.\left(2+3\right)$

$u_4=u_3+2.4=\frac{1}{2}+4+6+8=\frac{1}{2}+2.\left(2+3+4\right)$

…..

Dự đoán số hạng tổng quát $u_n=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+n\right)\left(*\right),\forall n\ge 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy (∗) đúng với n = 2.

Giả sử (∗) đúng đến n = k ≥ 2 , tức là $u_k=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+k\right)$,

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+k+1\right)$

Ta có:

$u_{k+1}=u_k+2\left(k+1\right)$

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{..}+k\right)+2\left(k+1\right)$

$u_{k+1}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{..}+k+k+1\right)$

 

Vậy (∗) đúng với mọi n ≥ 2.

Mặt khác ta có:

$1+2+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

$\iff 2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1$

 

Khi đó số hạng:

$u_{50}=\frac{1}{2}+2\left(2+3+\mathrm{...}+50\right)$

$\Rightarrow u_{50}=\frac{1}{2}+2\left(\frac{50.51}{2}-1\right)$

$\Rightarrow u_{50}=\mathrm{2548,5}$

 

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

$x_1=5$

$x_2=x_1+1=5+1$

$x_3=x_2+2=5+1+2$

$x_4=x_3+3=5+1+2+3$

……

Dự đoán

$x_n=5+1+2+3+\mathrm{...}+n-1$

$x_n=5\frac{n\left(n-1\right)}{2}\left(*\right)\forall n\in N*$

 

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, (∗) đúng với n = 1.

Giả sử (∗) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là $x_k=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2}$, 

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

$x_{k+1}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$

 

Ta có:

$x_{k+1}=x_k+k$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2}+k$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1\right)+2k}{2}$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1+2\right)}{2}$

$x_{k+1}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$

Vậy (∗) đúng với mọi n∈N∗.

Vậy $x_n=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n+10}{2},\forall n\in N*$

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta thấy dãy số (a_n) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy (b_n), ta có:

$b_n=5^n+\mathrm{1,}\forall n\in N*,do{\left(-1\right)}^{2n}=1$

 

Vì $b_{n+1}=5^{n+1}+1={5.5}^n+1>b_n\Rightarrow \left(b_n\right)$ là dãy số tăng.

Với dãy số (c_n) ta có:

$c_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n+\sqrt{n+2}}=c_n$

 

$\Rightarrow \left(c_n\right)$là dãy số giảm.

Với dãy số (d_n) ta có:\

$d_{n+1}=\frac{n+1}{{\left(n+1\right)}^2+1}=\frac{n+1}{n^2-2n+2}$

Xét hiệu:

$d_{n+1}-d_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}$

$d_{n+1}-d_n=\frac{n^3+n^2+n+1-n^3-2n^2-2n}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}$

$d_{n+1}-d_n=\frac{-n^2-n+1}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}<\mathrm{0,}\forall n\in N*$

 

Vậy (d_n) là dãy giảm.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Ta có:

$x_{n+1}=\frac{a\left(n+1\right)+4}{\left(n+1\right)+2}=\frac{a\left(n+1\right)+4}{n+3}$

Xét hiệu:

$x_{n+1}-x_n=\frac{a\left(n+1\right)+4}{n+3}-\frac{an+4}{n+2}$

$=\frac{\left(an+a+4\right)\left(n+2\right)-\left(an+4\right)\left(n+3\right)}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{a{n}^2+2an+an+2a+4n+8-a{n}^2-3an-4n-12}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$

 

$=\frac{2a-4}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}$

Để (x_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi:

x_n+1 – x_n > 0, ∀n ≥ 1

⇒ 2a – 4 > 0

⇔ a > 2.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Với n = 0 ta có: S = 1

Với n = 1 ta có S = 1 – 2 + 3 = 2

Với n = 2 ta có S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3

Dự đoán S = n + 1(∗), ta sẽ chứng minh (∗) đúng bằng quy nạp.

Với n = 0 đương nhiên (∗) đúng.

Giả sử (∗) đúng với n = k, tức là:

S_k = 1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2k + (2k + 1) = k + 1,

 ta chứng minh (∗) đúng với n = k + 1.

Ta có:

S_k+1 = 1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2(k + 1) + (2(k + 1) + 1)

= (1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2k + 2k + 1) − (2k + 2) + (2k + 3)

= S_k − (2k + 2) + (2k + 3)

= k + 1 + 1.

Vậy (∗) đúng với mọi số tự nhiên n, tức là S = n + 1.

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Với n = 1 ta có: S₁ = 1.2 = 2, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh $S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giả sử (∗) đúng đến n = k(k ≥ 1), tức là:

S_k = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ k(k + 1)

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}$

ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)(k + 2)

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}$

Ta có:

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)+(k + 1)(k + 2)

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k^2+2k+3k+6\right)}{3}$

 

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}$

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.

Với n = 1 thì S₁ = 1.1! = 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được:

$S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n}{n+1}\left(*\right)$

 

Thật vậy, với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$

Giả sử (*) đúng đến n = k(k ≥ 1), khi đó ta có:

$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}$

 

 ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

 

Ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{\left(k+1\right)}{\left(k+2\right)}$

 

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Với n = 1 ta có 13¹ – 1 = 12 chia hết 12, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh 13ⁿ − 1 chia hết cho 12 với mọi nϵN*.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k(k ≥ 1), tức là (13^k − 1) chia hết 12 ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là 13^k+1 − 1 cũng chia hết cho 12

Ta có:

${13}^{k+1}-1={13.13}^k-1={13.13}^k-13+12=13\left({13}^k-1\right)+12$

 

Theo giả thiết quy nạp ta có: $\left({13}^k-1\right)⋮12$ nên:

$13\left({13}^k-1\right)+12⋮12\Rightarrow \left({13}^{k+1}-1\right)⋮12$

 

Vậy $\left({13}^n-1\right)⋮\mathrm{12,}\forall n\in N*$

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Gọi S_n = 2 + 5 + 8 + … + (3n − 1)

Với n = 1 ta có: S₁ = 2 , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh:

$S_n=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3n-1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\left(*\right)$

đúng với mọi số nguyên dương nn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là

$S_k=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3k-1\right)=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}$

Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$

 

Ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

= 2 + 5 + 8 + … + (3k − 1) + (3k + 2)

$=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2$

$=\frac{3k^2+k+6k+4}{2}$

 

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$

Do đó (*) đúng đến n = k + 1 .

Vậy $S_n=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3n-1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}$đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

+ Ta có:

$a_{n+6}=2017\sin \frac{\left(n+6\right)\pi }{2}+2018\cos \frac{\left(n+6\right)\pi }{3}$

$=-2017\sin \frac{n\pi }{2}+2018\cos \frac{n\pi }{3}\ne a_n$

+ Ta có:

$a_{n+9}=2017\sin \frac{\left(n+9\right)\pi }{2}+2018\cos \frac{\left(n+9\right)\pi }{3}$

$=2017\cos \frac{n\pi }{2}-2018\cos \frac{n\pi }{3}\ne a_n$

+ Ta có:

$a_{n+12}=2017\sin \frac{\left(n+12\right)\pi }{2}+2018\cos \frac{\left(n+12\right)\pi }{3}$

$=2017\sin \frac{n\pi }{2}+2018\cos \frac{n\pi }{3}=a_n$

+ Ta có:

$a_{n+15}=2017\sin \frac{\left(n+15\right)\pi }{2}+2018\cos \frac{\left(n+15\right)\pi }{3}$

$=-2017\cos \frac{n\pi }{2}-2018\cos \frac{n\pi }{3}\ne a_n$

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{3\left(n+1\right)-1}{3\left(n+1\right)+7}-\frac{3n-1}{3n+7}$

$=\frac{3n+2}{3n+10}-\frac{3n-1}{3n+7}$

$=\frac{9n^2+27n+14-9n^2-27n+10}{\left(3n+10\right)\left(3n+7\right)}$

 

$=\frac{24}{\left(3n+10\right)\left(3n+7\right)}>0$

Do đó (u_n) là dãy số tăng.

Ta có:

$u_n=\frac{3n-1}{3n+7}=1-\frac{8}{3n+7}<\mathrm{1,}\forall n\ge 1$nên dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1.

$u_1=\frac{1}{5}$⇒(u_n)  bị chặn dưới bởi $\frac{1}{5}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có:

$x_{n+1}={2.3}^{n+1}-{5.2}^{n+1}={6.3}^n-{10.2}^n$

$x_{n+2}={2.3}^{n+2}-{5.2}^{n+2}={18.3}^n-{20.2}^n$

- Đáp án A:

$5x_{n+1}-6x_n=5\left({6.3}^n-{10.2}^n\right)-6\left({2.3}^n-{5.2}^n\right)$

$={18.3}^n-{20.2}^n=x_{n+2}$

→ A đúng
- Đáp án B:

$6x_{n+1}-5x_n=6\left({6.3}^n-{10.2}^n\right)-5\left({2.3}^n-{5.2}^n\right)$

$={16.3}^n-{35.2}^n\ne x_{n+2}$

→ B sai.

- Đáp án C:

$x_{n+2}+5x_{n+1}-6x_n={18.3}^n-{20.2}^n+5\left({6.3}^n-{10.2}^n\right)-6\left({2.3}^n-{5.2}^n\right)$

$={36.3}^n-{40.2}^n\ne 0$

→ C sai

- Đáp án D:

$x_{n+2}+6x_{n+1}-5x_n={18.3}^n-{20.2}^n+6\left({6.3}^n-{10.2}^n\right)-5\left({2.3}^n-{5.2}^n\right)$

$={44.3}^n-{55.2}^n\ne 0$

→ D sai

Trả lời:

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

$a_1=1$

$a_2=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+1=2$

$a_3=-\frac{3}{2}.4+\frac{5}{2}.2+1=0$

$a_4=-\frac{3}{2}.0+\frac{5}{2}.0+1=1$

$a_5=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+1=2$

$a_6=-\frac{3}{2}.4+\frac{5}{2}.2+1=0$

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán $a_{n+3}=a_n,\forall n\ge 1$

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với $n=\mathrm{1,}{a}_1=a_4=1$

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là $a_{k+3}=a_k$, ta cần chứng minh đẳng thức đúng với  n = k + 1, tức là cần chứng minh $a_{k+4}=a_{k+1}$

Ta có :

$a_{k+4}=-\frac{3}{2}{a}_{k+3}^2+\frac{5}{2}{a}_{k+3}+1$

$a_{k+1}=-\frac{3}{2}{a}_k^2+\frac{5}{2}{a}_k+1$

Mà $a_{k+3}=a_k\Rightarrow a_{k+4}=a_{k+1}$, vậy $a_{n+3}=a_n,\forall n\ge 1$

Tổng quát $a_{3n+m}=a_m,\forall m,n\in N*$

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2

Từ đó ta suy ra $a_{2018}=a_{3.672+2}=a_2$

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

$u_n=2u_{n+1}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}$

Ta có:

$u_n=\frac{u_{n-1}+1}{2}$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+1}{2}-u_n$

$=\frac{u_n+1}{2}-\frac{u_{n-1}+1}{2}$

$=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right)$

Tương tự ta có: $\Rightarrow u_n-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)$

Tiếp tục như vậy ta được:

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right)$

$u_n-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)$
$u_{n-1}-u_{n-2}=\frac{1}{2}\left(u_{n-2}-u_{n-3}\right)$

….

$u_4-u_3=\frac{1}{2}\left(u_3-u_2\right)$

$u_3-u_2=\frac{1}{2}\left(u_2-u_1\right)$

$\Rightarrow \left(u_{n+1}-u_n\right)\left(u_n-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)\mathrm{...}\left(u_4-u_3\right)\left(u_3-u_2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(u_n-u_{n-1}\right).\frac{1}{2}\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right).\frac{1}{2}\left(u_{n-2}-u_{n-3}\right)\mathrm{...}\frac{1}{2}\left(u_3-u_2\right).\frac{1}{2}\left(u_2-u_1\right)$

$\Rightarrow \left(u_{n+1}-u_n\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\left(u_2-u_1\right)$

$\iff u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n-1}}.\left(u_2-u_1\right)$

Ta có:

$u_1=2u_2-1$

$\Rightarrow u_2=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2^{n-1}}.\left(\frac{3}{2}-2\right)=-\frac{1}{2^n}<0$

$\Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy số giảm

$u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2^n}$

$\iff u_{n+1}=u_n-\frac{1}{2^n}$

Mà $u_n=2u_{n+1}-1$

$\Rightarrow u_n=2\left(u_n-\frac{1}{2^n}\right)-1$

$\iff u_n=2u_n-\frac{1}{2^{n-1}}-1$

$\iff u_n=1+\frac{1}{2^{n-1}}<1+1=2$

$\Rightarrow 1<u_n<2$

Do đó (u_n) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: B