ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương pháp quy nạp toán học và dãy số

Phương pháp quy nạo toán học:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 

n = k + 2.

Đáp án cần chọn là: C

un=n+12n+1=815⇔ 15n + 15 = 16n + 8 ⇔ n = 7.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án A: sai vì Q⊂N∗ chứ không phải N∗⊂Q, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn kk thuộc Q.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

un=n+12n+1=815

⇔ 15n + 15 = 16n + 8

⇔ n = 7.

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Ta có:

u₁ = −2.1 = −2;

u₂ = (−1)².2.2 = 4;

u₃ = (−1)³2.3 = −6;

u₄ = (−1)⁴2.4 = 8

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Ta có u₁ = −1; u₂ = u₁ + 3 = 2; u₃ = u₂ + 3 = 5.

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta có:

xn+1=n+1−1n+1+12n+1+3=nn+22n+5

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

a_n = − n² + 4n + 11 = − n² + 4n – 4 + 15 = − (n − 2)² + 15 ≤ 15

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

n – 2 = 0 ⇔ n = 2

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1;...đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án B: 1;−12;14;−18;116;...

→ u₁ > u₂ < u₃

→ loại B.

Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9;...

→ u_n < u_n+1, n∈N∗

Xét đáp án D: 1;12;14;18;116;...

→ u₁ > u₂ > u₃ … > u_n > ...

→ loại D.

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có:

u1=−12;u2=−23;u3=−34;u4=−45;u5=−56

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta có:

u1=12

u2=u1+2.2=12+4=12+2.2

u3=u2+2.3=12+4+6=12+2.2+3

u4=u3+2.4=12+4+6+8=12+2.2+3+4

…..

Dự đoán số hạng tổng quát un=12+22+3+...+n  *,∀n≥2

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy (∗) đúng với n = 2.

Giả sử (∗) đúng đến n = k ≥ 2 , tức là uk=12+22+3+...+k  ,

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

uk+1=12+22+3+...+k+1  

Ta có:

uk+1=uk+2k+1  

uk+1=12+22+3+..+k+2k+1

uk+1=12+22+3+..+k+k+1

 

Vậy (∗) đúng với mọi n ≥ 2.

Mặt khác ta có:

1+2+...+n=nn+12

⇔2+3+...+n=nn+12−1

 

Khi đó số hạng:

u50=12+22+3+...+50

⇒u50=12+250.512−1

⇒u50=2548,5

 

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

x1=5

x2=x1+1=5+1

x3=x2+2=5+1+2

x4=x3+3=5+1+2+3

……

Dự đoán

xn=5+1+2+3+...+n−1

xn=5nn−12*∀n∈N*

 

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, (∗) đúng với n = 1.

Giả sử (∗) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là xk=5+kk−12, 

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

xk+1=5+k+1k2

 

Ta có:

xk+1=xk+k

xk+1=5+kk−12+k

xk+1=5+kk−1+2k2

xk+1=5+kk−1+22

xk+1=5+k+1k2

Vậy (∗) đúng với mọi n∈N∗.

Vậy xn=5+nn−12=n2−n+102,∀n∈N*

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta thấy dãy số (a_n) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy (b_n), ta có:

bn=5n+1,∀n∈N*, do −12n=1

 

Vì bn+1=5n+1+1=5.5n+1>bn⇒bn là dãy số tăng.

Với dãy số (c_n) ta có:

cn+1=1n+1+n+2<1n+n+2=cn

 

⇒cnlà dãy số giảm.

Với dãy số (d_n) ta có:\

dn+1=n+1n+12+1=n+1n2−2n+2

Xét hiệu:

dn+1−dn=n+1n2+2n+2−nn2+1

dn+1−dn=n3+n2+n+1−n3−2n2−2nn2+2n+2n2+1

dn+1−dn=−n2−n+1n2+2n+2n2+1<0,∀n∈N*

 

Vậy (d_n) là dãy giảm.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Ta có:

xn+1=an+1+4n+1+2=an+1+4n+3

Xét hiệu:

xn+1−xn=an+1+4n+3−an+4n+2

=an+a+4n+2−an+4n+3n+3n+2

=an2+2an+an+2a+4n+8−an2−3an−4n−12n+3n+2

 

=2a−4n+3n+2

Để (x_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi:

x_n+1 – x_n > 0, ∀n ≥ 1

⇒ 2a – 4 > 0

⇔ a > 2.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Xét thương :

xn+1xn=n+2!2n+1n+1!2n

xn+1xn=n+2!2n+1.2nn+1!

xn+1xn=n+22=n2+1>1,∀n≥1

⇒xn+1>xn

→ (x_n) là dãy tăng

Xét hiệu:

yn+1−yn=n+1+sin2n+2−n−sin2n+1

yn+1−yn=sin2n+2−sin2n+1+1

Vì: sin2n+2≥0−sin2n+2≥−1

⇒sin2n+2−sin2n+1≥−1

⇒sin2n+2−sin2n+1+1≥0,∀n≥1

Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để

sin2n+2=0−sin2n+1=−1

Vây sin2n+2−sin2n+1+1>0,∀n≥1

⇒yn+1>yn

Do đó (y_n) là dãy tăng.

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Với n = 0 ta có: S = 1

Với n = 1 ta có S = 1 – 2 + 3 = 2

Với n = 2 ta có S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3

Dự đoán S = n + 1(∗), ta sẽ chứng minh (∗) đúng bằng quy nạp.

Với n = 0 đương nhiên (∗) đúng.

Giả sử (∗) đúng với n = k, tức là:

S_k = 1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2k + (2k + 1) = k + 1,

 ta chứng minh (∗) đúng với n = k + 1.

Ta có:

S_k+1 = 1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2(k + 1) + (2(k + 1) + 1)

= (1 – 2 + 3 – 4 + ... − 2k + 2k + 1) − (2k + 2) + (2k + 3)

= S_k − (2k + 2) + (2k + 3)

= k + 1 + 1.

Vậy (∗) đúng với mọi số tự nhiên n, tức là S = n + 1.

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Với n = 1 ta có: S₁ = 1.2 = 2, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh Sn=nn+1n+23 (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giả sử (∗) đúng đến n = k(k ≥ 1), tức là:

S_k = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ k(k + 1)

=kk+1k+23

ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)(k + 2)

=k+1k+2k+33

Ta có:

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)+(k + 1)(k + 2)

=kk+1k+23+k+1k+2

=k+1k2+2k+3k+63

 =k+1k2+5k+63=k+1k+2k+33

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.

Với n = 1 thì S₁ = 1.1! = 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được:

Sn=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1=nn+1*

 

Thật vậy, với n = 1 ta có S1=11.2=12=11+1

Giả sử (*) đúng đến n = k(k ≥ 1), khi đó ta có:

Sk=11.2+12.3+...+1kk+1=kk+1

 

 ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

Sk+1=11.2+12.3+...+1kk+1k+2=k+1k+2

 

Ta có:

Sk+1=11.2+12.3+...+1kk+1+1k+1k+2=k+1k+2

=kk+1+1k+1k+2

=kk+2+1k+1k+2

=k2+2k+1k+1k+2

=k+12k+1k+2

=k+1k+2

 

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Với n = 1 ta có 13¹ – 1 = 12 chia hết 12, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh 13ⁿ − 1 chia hết cho 12 với mọi nϵN*.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k(k ≥ 1), tức là (13^k − 1) chia hết 12 ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là 13^k+1 − 1 cũng chia hết cho 12

Ta có:

13k+1−1=13.13k−1=13.13k−13+12=1313k−1+12

 

Theo giả thiết quy nạp ta có: 13k−1⋮12 nên:

1313k−1+12⋮12⇒13k+1−1⋮12

 

Vậy 13n−1⋮12,∀n∈N*

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Gọi S_n = 2 + 5 + 8 + … + (3n − 1)

Với n = 1 ta có: S₁ = 2 , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh:

Sn=2+5+8+...+3n−1=n3n+12*

đúng với mọi số nguyên dương nn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là

Sk=2+5+8+...+3k−1=k3k+12

Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

=k+13k+1+12

=k+13k+42

 

Ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

= 2 + 5 + 8 + … + (3k − 1) + (3k + 2)

=k3k+12+3k+2

=3k2+k+6k+42

 

=k+13k+42

Do đó (*) đúng đến n = k + 1 .

Vậy Sn=2+5+8+...+3n−1=n3n+12đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

+ Ta có:

an+6=2017sinn+6π2+2018cosn+6π3

=−2017sinnπ2+2018cosnπ3≠an

+ Ta có:

an+9=2017sinn+9π2+2018cosn+9π3

=2017cosnπ2−2018cosnπ3≠an

+ Ta có:

an+12=2017sinn+12π2+2018cosn+12π3

=2017sinnπ2+2018cosnπ3=an

+ Ta có:

an+15=2017sinn+15π2+2018cosn+15π3

=−2017cosnπ2−2018cosnπ3≠an

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có:

un+1−un=3n+1−13n+1+7−3n−13n+7

=3n+23n+10−3n−13n+7

=9n2+27n+14−9n2−27n+103n+103n+7

 

=243n+103n+7>0

Do đó (u_n) là dãy số tăng.

Ta có:

un=3n−13n+7=1−83n+7<1,∀n≥1nên dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1.

u1=15⇒(u_n)  bị chặn dưới bởi 15 .

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có:

xn+1=2.3n+1−5.2n+1=6.3n−10.2n

xn+2=2.3n+2−5.2n+2=18.3n−20.2n

- Đáp án A:

5xn+1−6xn=56.3n−10.2n−62.3n−5.2n

=18.3n−20.2n=xn+2

→ A đúng
- Đáp án B:

6xn+1−5xn=66.3n−10.2n−52.3n−5.2n

=16.3n−35.2n≠xn+2

→ B sai.

- Đáp án C:

xn+2+5xn+1−6xn=18.3n−20.2n+56.3n−10.2n−62.3n−5.2n

=36.3n−40.2n≠0

→ C sai

- Đáp án D:

xn+2+6xn+1−5xn=18.3n−20.2n+66.3n−10.2n−52.3n−5.2n

=44.3n−55.2n≠0

→ D sai

Trả lời:

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

a1=1

a2=−32+52+1=2

a3=−32.4+52.2+1=0

a4=−32.0+52.0+1=1

a5=−32+52+1=2

a6=−32.4+52.2+1=0

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán an+3=an,∀n≥1

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với n=1,a1=a4=1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là ak+3=ak, ta cần chứng minh đẳng thức đúng với  n = k + 1, tức là cần chứng minh ak+4=ak+1

Ta có :

ak+4=−32ak+32+52ak+3+1

ak+1=−32ak2+52ak+1

Mà ak+3=ak⇒ak+4=ak+1, vậy an+3=an,∀n≥1

Tổng quát a3n+m=am,∀m,n∈N*

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2

Từ đó ta suy ra a2018=a3.672+2=a2

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

un=2un+1−1⇒un+1=un+12

Ta có:

un=un−1+12

⇒un+1−un=un+12−un

=un+12−un−1+12

=12un−un−1

Tương tự ta có: ⇒un−un−1=12un−1−un−2

Tiếp tục như vậy ta được:

un+1−un=12un−un−1

un−un−1=12un−1−un−2
un−1−un−2=12un−2−un−3

….

u4−u3=12u3−u2

u3−u2=12u2−u1

⇒un+1−unun−un−1un−1−un−2...u4−u3u3−u2

=12un−un−1.12un−1−un−2.12un−2−un−3...12u3−u2.12u2−u1

⇒un+1−un=12n−1.u2−u1

⇔un+1−un=12n−1.u2−u1

Ta có:

u1=2u2−1

⇒u2=32

⇒un+1−un=12n−1.32−2=−12n<0

⇒unlà dãy số giảm

un+1−un=−12n

⇔un+1=un−12n

Mà un=2un+1−1

⇒un=2un−12n−1

⇔un=2un−12n−1−1

⇔un=1+12n−1<1+1=2

⇒1<un<2

Do đó (u_n) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

un+1=2+un2

⇔un+12=un2+2=un−12+2+2=...=u12+2n=1+2n

⇔un2=1+2n−1=2n−1

Khi đó:

S2018=∑n=120182n−1=2∑n=12018n−∑n=120181

=21+2+...+2018−2018

=220182018+12−2018

= 2018² + 2018 – 2018 = 2018²

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Dễ dàng chỉ ra được un≥0,∀n≥1

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:

1un+1=2n+1un+1un=1un+2n+2

⇒1un=1un+1+2n−1+2

=1un−2+2n−1+2+2n−2+2

=1u1+21+2+...+n−1+2n−1

=2+2nn−12+2n−2=n2+n

⇒un=1n2+n=1nn+1=1n−1n+1

⇒Sn=11−12+12−13+...+1n−1n+1

⇒Sn=1−1n+1=nn+1<20172018

 

⇒ 2018n < 2017n + 2017 ⇔ n < 2017

 Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 2016.

Đáp án cần chọn là: C