Quiz

ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và đường thẳng

VietJackĐH Bách KhoaĐánh giá năng lực7 lượt thi

23 câu hỏi

Hiển thị đáp án

1. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

R=4

R=2

$R = \pm 1$

R=1

Xem đáp án

2. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

Xem đáp án

3. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và đường thẳng $d : x - 1 = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{3}$ . (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:

$A B = \frac{\sqrt{126}}{7}$

$A B = \frac{\sqrt{123}}{7}$

$A B = \sqrt{\frac{126}{7}}$

$A B = \frac{\sqrt{129}}{7}$

Xem đáp án

4. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$

${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$

Xem đáp án

5. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 16 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{2}$ . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

$(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

$(P) : 2 x - 11 y + 10 z - 35 = 0$

$(P) : - 2 x + 2 y - z + 11 = 0$

Xem đáp án

6. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ . Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

$5 \sqrt{2}$

$10 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{5}$

$4 \sqrt{5}$

Xem đáp án

7. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $x = y = z$ . Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với $Δ$ là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - 6 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 2 z - 3 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 3 y + 5 z + 3 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 7 x - 2 z + 6 = 0$

Xem đáp án

8. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 8 y + 2 z + 2 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2 y + z + 1 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 4 z + 4 = 0$

Xem đáp án

9. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Xét đường thẳng d có phương trình $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 + 2 t \end{matrix}$ và mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4.$ Nhận xét nào sau đây đúng.

d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB<2R

d không có điểm chung với (S)

d tiếp xúc với (S)

d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB đạt GTLN.

Xem đáp án

10. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

Xem đáp án

11. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{2}$ . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

(1;−2;2),I(5;2;10)

I(1;−2;2),I(0;3;0)

I(5;2;10),I(0;−3;0)

I(1;−2;2),I(−1;2;−2)

Xem đáp án

12. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\vec{O M}$ là

$\sqrt{110}$

$3 \sqrt{10}$

$\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

$\frac{\sqrt{110}}{5}$

Xem đáp án

13. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.

$(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25.$

$(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

$(S) : {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20.$

$(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5.$

Xem đáp án

14. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ .Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$

Trục Ox

Trục Oy

Trục Oz

Xem đáp án

15. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{matrix}$ và $d' : \{\begin{matrix} x = t' \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \end{matrix}$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 2$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 4$

Xem đáp án

16. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ .

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2.$

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24.$

Xem đáp án

17. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

$x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$

$x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 20$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 14$

Xem đáp án

18. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = z$ . Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là

$2 x - 2 y + z - 2 = 0$ và $2 x - 2 y + z + 16 = 0$

$2 x - 2 y + z - 2 = 0$ và $2 x - 2 y + z - 16 = 0$

$2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} + 6 = 0$ và $2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} - 6 = 0$

$2 x - 2 y + 3 \sqrt{8} - 6 = 0$ và $2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} - 6 = 0$

Xem đáp án

19. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{matrix}$ và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình $x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 7 = 0$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmI thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

Xem đáp án

20. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

4 mặt cầu

2 mặt cầu.

1 mặt cầu.

Vô số mặt cầu

Xem đáp án

21. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là:

$\{\begin{matrix} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix}$

Xem đáp án

22. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ . Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 60⁰. Dây cung AB có độ dài bằng:

$2 \sqrt{6}$

$2 \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{6}$

Xem đáp án

23. Trắc nghiệm

• 1 điểm • Không giới hạn

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ và $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $Δ$ . Gọi $Δ'$ là hình chiếu của $Δ$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $Δ'$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2}$ .