Quiz

ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và đường thẳng

Admin23 câu hỏiĐH Bách KhoaĐánh giá năng lực

23 CÂU HỎI

Hiển thị đáp án

1. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = R^{2}$ . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:

A.R=4

B.R=2

C. $R = \pm 1$

D.R=1

2. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

3. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và đường thẳng $d : x - 1 = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{3}$ . (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó AB bằng:

A. $A B = \frac{\sqrt{126}}{7}$

b. $A B = \frac{\sqrt{123}}{7}$

c. $A B = \sqrt{\frac{126}{7}}$

d. $A B = \frac{\sqrt{129}}{7}$

4. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;−2;0) và cắt trục Oy tại hai điểm A,B mà AB=8 là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 9$

B. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 25$

5. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 16 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{2}$ . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

B. $(P) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0$

C. $(P) : 2 x - 11 y + 10 z - 35 = 0$

D. $(P) : - 2 x + 2 y - z + 11 = 0$

6. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ . Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

A. $5 \sqrt{2}$

B. $10 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $4 \sqrt{5}$

7. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $x = y = z$ . Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với $Δ$ là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z - 6 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 2 z - 3 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 3 y + 5 z + 3 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 7 x - 2 z + 6 = 0$

8. Nhiều lựa chọn

Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 8 y + 2 z + 2 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2 y + z + 1 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 4 z + 4 = 0$

9. Nhiều lựa chọn

Xét đường thẳng d có phương trình $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 + 2 t \end{matrix}$ và mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4.$ Nhận xét nào sau đây đúng.

A.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB<2R

B.d không có điểm chung với (S)

C.d tiếp xúc với (S)

D.d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và AB đạt GTLN.

10. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

11. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{2}$ . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.

A.(1;−2;2),I(5;2;10)

B.I(1;−2;2),I(0;3;0)

C.I(5;2;10),I(0;−3;0)

D.I(1;−2;2),I(−1;2;−2)

12. Nhiều lựa chọn

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ $\vec{O M}$ là

A. $\sqrt{110}$

B. $3 \sqrt{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{110}}{5}$

13. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.

A. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25.$

B. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

C. $(S) : {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20.$

d. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5.$

14. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 50$ .Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$

B.Trục Ox

C.Trục Oy

D.Trục Oz

15. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{matrix}$ và $d' : \{\begin{matrix} x = t' \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \end{matrix}$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 2$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 4$

16. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ .

A. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2.$

B. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

C. ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24.$

17. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ , điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$

B. $x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 20$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 14$

18. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = z$ . Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là

A. $2 x - 2 y + z - 2 = 0$ và $2 x - 2 y + z + 16 = 0$

B. $2 x - 2 y + z - 2 = 0$ và $2 x - 2 y + z - 16 = 0$

C. $2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} + 6 = 0$ và $2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} - 6 = 0$

D. $2 x - 2 y + 3 \sqrt{8} - 6 = 0$ và $2 x - 2 y - 3 \sqrt{8} - 6 = 0$

19. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{matrix}$ và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình $x + 2 y + 2 z + 3 = 0; x + 2 y + 2 z + 7 = 0$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmI thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

A. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{4}{9}$

20. Nhiều lựa chọn

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?

A.4 mặt cầu

B.2 mặt cầu.

C.1 mặt cầu.

D.Vô số mặt cầu

21. Nhiều lựa chọn

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là:

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{matrix}$

D. $\{\begin{matrix} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix}$

22. Nhiều lựa chọn

Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ . Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 60⁰. Dây cung AB có độ dài bằng:

A. $2 \sqrt{6}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{6}$

23. Nhiều lựa chọn

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x - m y + z + 6 m + 3 = 0$ và $(β) : m x + y - m z + 3 m - 8 = 0$ ; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $Δ$ . Gọi $Δ'$ là hình chiếu của $Δ$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi mm thay đổi thì đường thẳng $Δ'$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức $P = 10 a^{2} - b^{2} + 3 c^{2}$ .