28 câu hỏi
Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 0\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = - 1\]
\[\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 2\]
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \[\mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2\] . Mệnh đề nào sau đây là sai?
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 2\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( {x + 1} \right)d{\rm{x}} = 2\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)d{\rm{x}} = 1\]
Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên \[\left[ { - a;a} \right].\]Chọn kết luận đúng:
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 1\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - 1\]
\[\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = a\]
Cho \[\mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = - 1\], tính \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx\):
\[I = \frac{{ - 1}}{2}\]
\[I = - \frac{1}{4}\]
\[I = \frac{1}{4}\]
\[I = - 2\]
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx\]
Đặt \[\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\]
Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\)
\[I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\]
\[I = - {\pi ^4}\]
\[I = 0\]
\[I = - \frac{1}{4}\]Trả lời:
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx\] Đặt \[u = 8 + cosx\] thì kết quả nào sau đây là đúng?
\[I = 2\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du\]
Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx\] bằng phương pháp đổi biến số \[u = \sqrt {{e^x} - 1} \]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\[I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.\]
Biết rằng \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a\] với \[a \in R\]. Khi đó giá trị của a bằng:
\[a = 2\]
\[a = \frac{1}{2}\]
\[a = \sqrt 2 \]
\[a = 4\]
Cho \[2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0\]. Khi đó \[144{m^2} - 1\;\]bằng:
\[ - \frac{2}{3}\]
\[4\sqrt 3 - 1\]
\[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
Kết quả khác
Đổi biến \[u = \ln x\] thì tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\] thành:
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right)du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du\]
\[I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{2u}}du\]
Cho \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx\] và \[t = \sqrt {1 + 3lnx} \;\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\[I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 tdt\]
\[I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 {t^2}dt\]
\[I = \left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)\left| {_1^2} \right.\]
\[I = \frac{{14}}{9}\]
Kết quả tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx\] có dạng \[I = aln2 + b\;\] với \[a,b \in Q\;\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[2a + b = 1\]
\[{a^2} + {b^2} = 4\]
\[a - b = 1\]
\[ab = \frac{1}{2}\]
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx\]. Nếu đổi biến số \[t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\] thì:
\[I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{t}{{{t^2} + 1}}dt\]
Đổi biến \[x = 4\sin t\] của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \) ta được:
\[I = - 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt\]
\[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt\]
\[I = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}tdt\]
\[I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 - \cos 2t} \right)dt\]
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\]. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} dt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} tdt\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{dt}}{t}\]
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{3}} dt\]
Tìm a biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với a,bb là các số nguyên dương.
\[a = 1\]
\[a = - \frac{1}{3}\]
\[a = 2\]
\[a = --2\]
Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx\]. Nếu đổi biến số \[t = si{n^2}x\] thì:
Đặt\[t = {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \Rightarrow \sin x\cos xdx = \frac{1}{2}dt\] và\[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - t\]
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}co{s^2}x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}dt + \mathop \smallint \limits_0^1 t{e^t}dt} \right]\]
\[I = 2\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt\]
\[I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - {t^2}} \right)dt\]Trả lời:
\[\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln n}}\ln \left( {p + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right)\] với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng \[S = m + n + p\].
\[S = 6\]
\[S = 5\]
\[S = 7\]
\[S = 8\]
Biết \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).\]. Tính \(\frac{b}{c}\).
\[\frac{{13}}{{9\pi }}\]
\[\frac{{14}}{9}\]
\[\frac{{14}}{{9\pi }}\]
\[\frac{{14\pi }}{9}\]
Cho \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 1.\]Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx\]
\(\frac{1}{2}\)
\( - \frac{1}{2}\)
2
-2
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ { - 1;2} \right]\]và thỏa mãn điều kiện \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\] Tính tích phân \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx\]
\[I = \frac{{14}}{3}\]
\[I = \frac{{28}}{3}\]
\[I = \frac{4}{3}\]
\[I = 2\]
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \[x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\] là:
3(1−e)
3e
0
3(e−1)
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = 5\] Tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx\]
\[I = 5\]
\[I = \frac{5}{2}\pi \]
\[I = 5\pi \]
\[I = 10\pi \]
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4,\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2\]. Tính tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x\]
\[I = 6.\]
\[I = 4.\]
\[I = 10.\]
\[I = 2.\]
Với mỗi số k, đặt \[{I_k} = \int\limits_{ - \sqrt k }^{\sqrt k } {\sqrt {k - {x^2}} } dx\]. Khi đó \[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\;\] bằng:
\[78\pi \]
\[650\pi \]
\[325\pi \]
\[39\pi \]
Biết hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên \[\left[ {0;2} \right],f\left( 0 \right) = \sqrt 5 ,f\left( 2 \right) = \sqrt {11} .\] Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx\] bằng:
\[\sqrt {11} - \sqrt 5 \]
6
\[\sqrt 5 - \sqrt {11} \]
3
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dt = 6\]. Giá trị của \[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx\] bằng:
\[\frac{2}{3}.\]
4
\[\frac{3}{2}.\]
6
Cho f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \[f(x) = f(2020 - x)\;\] và \[\int\limits_3^{2017} {f(x)dx = 4} \]. Khi đó \[\int\limits_3^{2017} {xf(x)dx} \] bằng:
16160
4040
2020
8080
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả