ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hệ bất phương trình

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - x >0}\\{2x + 1 < x - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 >x}\\{x < - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 2}\\{x < - 3}\end{array} \Leftrightarrow x < - 3} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Bất phương trình\[{x^2} - 1 \le 0\] có tập nghiệm\[{S_1} = \left[ { - 1;1} \right]\]

Bất phương trình \[x - m >0\] có tập nghiệm\[{S_2} = \left( {m; + \infty } \right)\]

Hệ có nghiệm \[ \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \Leftrightarrow m < 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\)- Với m = 0, ta có hệ bất phương trình trở thành\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\)  hệ bất phương trình vô nghiệm.

- Với \[m \ne 0\], ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} >\frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\]

Vậy \[0 \ne m < \frac{1}{3}\] là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Bất phương trình\[2x - 1 \ge 3 \leftrightarrow x \ge 2 \Rightarrow {S_1} = \left[ {2; + \infty } \right).\]

Bất phương trình \[x - m \le 0 \leftrightarrow x \le m \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]\]

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2}\] là tập hợp có đúng một phần tử ⇔2 = m

Đáp án cần chọn là: B

Bất phương trình\[3x + 5 \ge x - 1 \leftrightarrow 2x \ge - 6 \leftrightarrow x \ge - 3 \Rightarrow {S_1} = \left[ { - 3; + \infty } \right).\]

Bất phương trình\[{\left( {x + 2} \right)^2} \le {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \le {x^2} - 2x + 1 + 9\]

\[ \leftrightarrow 4x + 4 \le - 2x + 1 + 9 \leftrightarrow 6x \le 6 \leftrightarrow x \le 1 \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;1} \right].\]

Suy ra \[{S_1} \cap {S_2} = \left[ { - 3;1} \right]\]

Bất phương trình \[mx + 1 >\left( {m - 2} \right)x + m \leftrightarrow mx + 1 >mx - 2x + m\]

\[ \leftrightarrow 1 >- 2x + m \leftrightarrow 2x >m - 1 \leftrightarrow x >\frac{{m - 1}}{2} \Rightarrow {S_3} = \left( {\frac{{m - 1}}{2}; + \infty } \right).\]

Để hệ bất phương trình vô nghiệm\[ \Leftrightarrow \left( {{S_1} \cap {S_2}} \right) \cap {S_3} = \emptyset \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 3.\]

Đáp án cần chọn là: B

Dễ thấy \[x = - \frac{1}{4};y = - 1\]  thỏa mãn cả hai bất phương trình nên\[\left( { - \frac{1}{4}; - 1} \right) \in S\] do đó A sai.

Ta sẽ biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

\[\left( {{d_1}} \right):2x - \frac{3}{2}y = 1\]

\[\left( {{d_2}} \right):4x - 3y = 2\]

Thử trực tiếp ta thấy (0;0) là nghiệm của bất phương trình (2) vì 4.0-3.0 < 2 (đúng)

Nhưng (0;0) không phải là nghiệm của bất phương trình (1) vì \[2.0 - \frac{3}{2}.0 < 1\]

Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng\[\left( d \right):4x - 3y = 2.\]

Đáp án cần chọn là: B

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

\[\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\]

\[\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\]

\[\left( {{d_3}} \right):x = 0\]

\[\left( {{d_4}} \right):y = 0\]

- Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên nên A đúng.

- Đáp án B sai vì nếu m = 5 ta vẽ đường thẳng x + y = 5 sẽ không có giao điểm với miền nghiệm của hệ.

- Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của biểu thức\[F\left( {x;y} \right) = x + y\] với (x;y) là nghiệm của hệ.

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( {0;3} \right) = 0 + 3 = 3,F\left( {\frac{{25}}{8};\frac{9}{8}} \right) = \frac{{25}}{8} + \frac{9}{8} = \frac{{17}}{4},}\\{F\left( {2;0} \right) = 2 + 0 = 2,F\left( {0;0} \right) = 0 + 0 = 0}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B