ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Dấu của tam thức bậc hai
18 câu hỏi
Cho \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right).\] Điều kiện để f(x) >0\[,\forall x \in R\] là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a >0}\\{\Delta \le 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a >0}\\{\Delta \ge 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a >0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta >0}\end{array}} \right.\)
Ta có:\[f\left( x \right) >0\,,\forall x \in \mathbb{R}\] khi a >0 và \[\Delta < 0.\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\]. Điều kiện để \[f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\;\] là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta \le 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta \ge 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a >0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta >0}\end{array}} \right.\)</>
Ta có:\[f\left( x \right) \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\] khi \[a < 0\] và \[{\rm{\Delta }} \le 0\].
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\] có \[\Delta = {b^2} - 4ac < 0\]. Khi đó mệnh đề nào đúng?
\[f\left( x \right) >0\,,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[f\left( x \right) < 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\]
f(x) không đổi dấu
Tồn tại x để f(x) = 0
Đáp án A, B sai vì chưa biết dấu của a nên chưa kết luận được dấu của f(x)
Vì \[{\rm{\Delta }} < 0\] và \[a \ne 0\] nên f(x) không đổi dấu trên \[\mathbb{R}\].
Đáp án cần chọn là: C
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5\] nhận giá trị dương khi và chỉ khi
\[x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[x \in \left( { - 2; + \infty } \right).\]
\[\forall x \in \mathbb{R}.\]
\[x \in \left( { - \infty ;2} \right).\]Trả lời:
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2 >0}\\{\Delta \prime = 1 - 2.5 = - 9 < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow f(x) >0,\forall x \in R\)
Đáp án cần chọn là: C
Cho các tam thức \[f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4;\,g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4;\,h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\]. Số tam thức đổi dấu trên RR là:
0
1
2
3
Vì f(x) = 0 vô nghiệm do \[{\rm{\Delta }} = 9 - 4.2.4 = - 23 < 0\]
g(x) = 0 vô nghiệm do \[{\rm{\Delta }} = 9 - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0\]
h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt do:
\[4 - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]
Nên chỉ có h(x) đổi dấu trên \[\mathbb{R}\].
Đáp án cần chọn là: B
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \]:
Dương với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
Âm với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
Âm với mọi \[x \in \left( { - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 } \right)\]
Âm với mọi \[x \in \left( { - \infty ;1} \right)\]
Ta có\[f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 - \sqrt 3 }\\{x = 1 + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\]
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu\[f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 2 - \sqrt 3 < x < 1 + 2\sqrt 3 \]
Đáp án cần chọn là: C
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \[f\left( x \right) = \;{x^2} + 12x + 36\]?
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = {x^2} + 12x + 36}\\{{\rm{\Delta }} = {{12}^2} - 4.1.36 = 0}\end{array}\]
Do đó, tam thức bậc hai f(x) có một nghiệm duy nhất \[x = - \frac{{12}}{{2.1}} = - 6\]a=1>0 nên \[f\left( x \right) >0,\forall x \ne - 6\] hay \[f(x) \ge 0\] với mọi x.
Do đó ta có bảng xét dấu cần tìm.
Đáp án cần chọn là: C
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\]. Với giá trị nào của bb thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt?
\[b \in \left[ { - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right]\]
\[b \in \left( { - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right)\]
\[b \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ; + \infty } \right)\]
b∈−∞;−23∪23;+∞
Ta có \[f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\] có hai nghiệm phân biệt khi
\[\Delta = {b^2} - 12 >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < - 2\sqrt 3 }\\{b >2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị nào của m thì phương trình \[(m - 3){x^2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\;\left( 1 \right)\]có hai nghiệm phân biệt?
\[m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \setminus \left\{ 3 \right\}\]
\[m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\]
\[m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\]
\[m \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 3 \right\}\]
Ta có (1)(1) có hai nghiệm phân biệt khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\Delta >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{5{m^2} - 2m - 3 >0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{(m - 1)(5m + 3) >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - \frac{3}{5}}\\{m >1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)</>
Đáp án cần chọn là: A
Các giá trị m để tam thức \[f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\;\] đổi dấu 2 lần là
\[m \le 0\;\] hoặc \[m \ge 28\].
m < 0 hoặc m >28.
0< m < 28 .
m >0.
Tam thức\[f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1\] đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi
\[{\rm{\Delta }} >0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) >0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >28}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
Tìm tập xác định D của hàm số \[y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \] là
\[{\rm{D}} = \left[ { - 4; - 1} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\]
\[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right).\]
\[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\]
\[{\rm{D}} = \left[ { - 4; - \frac{1}{2}} \right).\]
Hàm số xác định khi và chỉ khi \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0.\]
Phương trình\[{x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\] và\[2{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]
Bảng xét dấu
![Tìm tập xác định D của hàm số \[y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \] làHàm số xác định khi và chỉ khi \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \g (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1652774698/1652774898-image6.png)
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy \[\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\]
Đáp án cần chọn là: C
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4x + 3 >0}\\{{x^2} - 6x + 8 >0}\end{array}} \right.\) là
\[\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]
\[\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\]
\[\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]
\[\left( {1;4} \right)\]
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4x + 3 >0}\\{{x^2} - 6x + 8 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x >3}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 2}\\{x >4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x < 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x >4}\end{array}\left( {VN} \right)} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x >3}\\{x < 2}\end{array}\left( {VN} \right)} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x >3}\\{x >4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x >4}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Tìm m để \[(m + 1){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R}\]?
m < −1.
m >−1.
\[m < - \frac{4}{3}\]
\[m >\frac{4}{3}\]
Với m = −1 thì bpt trở thành –x – 1 < 0⇔ x >−1 nên bpt không đúng với mọi x (loại)Do đó m = -1 không thỏa mãn.
Với \[m \ne - 1,(m + 1){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 < 0}\\{{m^2} - 4m(m + 1) < 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 < 0}\\{ - 3{m^2} - 4m < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - \frac{4}{3}}\\{m >0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{m < - \frac{4}{3}}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{m >0}\end{array}\left( {VN} \right)} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{m < - \frac{4}{3}}\end{array} \Leftrightarrow m < - \frac{4}{3}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Với giá trị nào của a thì bất phương trình \[a{x^2} - x + a \ge 0\;\] nghiệm đúng với \[\forall x \in \mathbb{R}\;\]?
a = 0.
a < 0
\[0 < a \le \frac{1}{2}\]
\[a \ge \frac{1}{2}\]
Để bất phương trình \[a{x^2} - x + a \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \le 0}\\{a >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 4{a^2} \le 0}\\{a >0}\end{array}} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge \frac{1}{2}}\\{a \le - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{a >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a \ge \frac{1}{2}\)
Đáp án cần chọn là: D
Với giá trị nào của m thì bất phương trình \[{x^2} - x + m \le 0\] vô nghiệm?
m<1.
m>1.
\[m < \frac{1}{4}\]
\[m >\frac{1}{4}\]
Bất phương trình\[{x^2} - x + m \le 0\] vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
\[{x^2} - x + m >0\] nghiệm đúng với \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta < 0}\\{1 >0}\end{array} \Leftrightarrow 1 - 4m < 0 \Leftrightarrow m >\frac{1}{4}} \right.\]</></>
Đáp án cần chọn là: D
Tìm tất cả giá trị thực của tham số mm để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 10x + 16 \le 0\,\,\,\left( 1 \right)}\\{mx \ge 3m + 1\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) vô nghiệm.
Bất phương trình \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 8 \le x \le - 2.\] Suy ra\[{S_1} = \left[ { - 8; - 2} \right]\]
\[m >- \frac{1}{5}.\]
\[m >\frac{1}{4}.\]
\[m >- \frac{1}{{11}}.\]
\[m >\frac{1}{{32}}.\]
Với m = 0 thì bất phương trình (2) trở thành \[0x \ge 1\] vô nghiệm .
Với m >0 thì bất phương trình (2) tương đương với \[x \ge \frac{{3m + 1}}{m}\]
Suy ra \[{S_2} = \left[ {\frac{{3m + 1}}{m}; + \infty } \right)\]
Hệ vô nghiệm \[ \Leftrightarrow - 2 < \frac{{3m + 1}}{m} \Leftrightarrow - 2m < 3m + 1 \Leftrightarrow m >- \frac{1}{5}\]Kết hợp m >0 ta được m >0.</>
+) Với m < 0 thì bất phương trình (2) tương đương với \[x \le \frac{{3m + 1}}{m}\]
Suy ra \[{S_2} = \left( { - \infty ;\frac{{3m + 1}}{m}} \right]\]
Hệ vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{m} < - 8 \Leftrightarrow 3m + 1 >- 8m \Leftrightarrow m >- \frac{1}{{11}}\]</>
Kết hợp với m < 0 ta được \[ - \frac{1}{{11}} < m < 0\]
Vậy \[m >- \frac{1}{{11}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để mọi x >0 đều thoả bất phương trình \[{\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2}\]?
0.
1.
2.
3.
Ta có
\[{\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} - {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 4x\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0\]
Với m < 0 ta có bảng xét dấu
TH1: \[ - \frac{m}{2} \ge 1\]
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x >0 thì\[ - \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 2\]
TH 2: \[0 < - \frac{m}{2} < 1\]
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x >0 thì \[ - \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 2\]
Vậy có 1 giá trị
Đáp án cần chọn là: B
Với giá trị nào của m thì phương trình \[m{x^2} - 2(m - 2)x + 3 - m = 0\;\] có hai nghiệm trái dấu?
0 < m < 3
m < 0
m < 0 hoặc m >3
m >3
Phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3 - m = 0\] có hai nghiệm trái dấu
\[ \Leftrightarrow m(3 - m) < 0 \Leftrightarrow m(m - 3) >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >3}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: C
