ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bất phương trình

Điều kiện: \[{x^2} - 3x - 10 \ne 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 5) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne - 2}\\{x \ne 5}\end{array}} \right.\]

Bất phương trình\[\frac{{ - \,2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\]

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình \[\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,2} \right) \cup \left[ {1;3} \right] \cup \left( {5; + \,\infty } \right).\]Đáp án cần chọn là: C

Đặt \[t = {x^2} \ge 0\]

Ta có \[\left| {{t^2} - 2t - 3} \right| \le t - 5\]

Nếu \[{t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le - 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right.\] thì ta có\[{t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2\] loại

Nếu\[{t^2} - 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < t < 3\] thì ta có\[ - {t^2} + t + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \frac{{1 - \sqrt {33} }}{2}}\\{t \ge \frac{{1 + \sqrt {33} }}{2}}\end{array}} \right.\] loại.

Đáp án cần chọn là: A

</>

Trường hợp 1:\[x \in \left[ {2; + \infty } \right)\]

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

\[{x^2} - \left( {a + 3} \right)x + 8 \le 0 \Leftrightarrow a \ge x + \frac{8}{x} - 3 \ge 4\sqrt 2 - 3 \approx 2,65\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\]

Dấu  xảy ra khi\[x = 2\sqrt 2 \]

Trường hợp 2:\[x \in \left( { - \infty ;2} \right)\]

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

\[{x^2} - \left( {a + 1} \right)x + 4 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow ax \ge {x^2} - x + 4\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge \frac{{{x^2} - x + 4}}{x}\,\,khi\,\,x \in (0;2)}\\{a \le \frac{{{x^2} - x + 4}}{x}\,\,\,\,khi\,x \in ( - \infty ;0)}\end{array}} \right.\,\,\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ge x + \frac{4}{x} - 1\,\,\,khi\,\,\,x \in (0;2)\,\,\,\,\,(1)}\\{a \le x + \frac{4}{x} - 1\,\,\,khi\,\,\,x \in ( - \infty ;0)\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Giải (1) ta được a >3  (theo bất đẳng thức Cauchy).

Giải (2): \[a \le x + \frac{4}{x} - 1 \Leftrightarrow a \le - 2\sqrt {x.\frac{4}{x}} - 1 = - 5\]

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2,6.

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện\[x \ge - 7\]

Đặt \[t = \sqrt {x + 7} \] điều kiện \[t \ge 0\]

Ta có\[\sqrt {{t^2} + 1 - 2t} = 2 - \sqrt {{t^2} - 6 - t} \Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6} \]

Nếu \[t \ge 1\] thì ta có\[3 - t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} - t - 6 = 9 - 6t + {t^2}}\\{t \le 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 7} = 3 \Leftrightarrow x = 2\]

Nếu t < 1  thì ta có \[1 + t = \sqrt {{t^2} - t - 6} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} - t - 6 = 1 + 2t + {t^2}}\\{t \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - \frac{7}{3}\;\;\left( l \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

</>

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le x \le 1}\\{x >m}\end{array}} \right.\)

Do đó hệ có nghiệm khi m < 1.

Đáp án cần chọn là: C

</>

Ta có\[\left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 - \left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right)\]

Xét hàm số\[y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)\]

Ta có\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2} - x + 7\,\,\,khi\,\,\,x \ge - 3}\\{{x^2} + x - 5\,\,\,\,khi\,\,\,\,x < - 3}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên của \[y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)\]

Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 1}\\{m >\frac{{29}}{4}}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:\[( * ) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \frac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}} < 0}\\{x >{m^2} + m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0}\\{x >{m^2} + m}\end{array}} \right.\left( {**} \right)\]

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình \[\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0\] là\[S = \left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {57} }}{6}; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{6};1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\]

Do đó bất phương trình (∗) có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình(∗∗) có nghiệm \[ \Leftrightarrow {m^2} + m < 2 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1\]

Vậy\[ - 2 < m < 1\] là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

ĐKXĐ:\[x \ge - \frac{1}{2}\]

\[(\sqrt {2x + 4} - \sqrt {x + 1} )(\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} ) \le x + 3\]

\[ \Leftrightarrow (\sqrt {2x + 4} - \sqrt {x + 1} )(\sqrt {2x + 4} + \sqrt {x + 1} )(\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} ) \le (x + 3)(\sqrt {2x + 4} + \sqrt {x + 1} )\]\[ \Leftrightarrow (x + 3)(\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} ) \le (x + 3)(\sqrt {2x + 4} + \sqrt {x + 1} )\]

\[ \Leftrightarrow (x + 3)(\sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} - \sqrt {2x + 4} - \sqrt {x + 1} ) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} - \sqrt {2x + 4} - \sqrt {x + 1} \le 0\] (do x + 3 >0\[\forall x \ge - \frac{1}{2}\])

\[ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} + \sqrt {x + 4} \le \sqrt {2x + 4} + \sqrt {x + 1} \]

\[ \Leftrightarrow 3x + 5 + 2\sqrt {(2x + 1)(x + 4)} \le 3x + 5 + 2\sqrt {(2x + 4)(x + 1)} \]

\[ \Leftrightarrow (2x + 1)(x + 4) \le (2x + 4)(x + 1)\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x + 4 \le 2{x^2} + 6x + 4\]

\[ \Leftrightarrow 3x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0\]

Kết hợp ĐKXĐ\[ \Rightarrow x \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right] \subset \left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{2}} \right)\]Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

\[f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3x - 6}} \le 0 \Leftrightarrow 3x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 2 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;2} \right).\]

Đáp án cần chọn là: B

- Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2 - x}}{{x + 1}} + 2 = \frac{{2 - x + 2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 1}}.\]

Phương trình \[x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - \,4\] và \[x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \,1.\]

- Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng \[f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,4; - \,1} \right).\]

Đáp án cần chọn là: C

Bất phương trình

\[\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) >0 \Leftrightarrow 3{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) >0\]

Vì \[{\left( {x - 2} \right)^2} >0,\,\,\forall x \ne 2\]  nên bất phương trình trở thành\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{(x + 2)(x - 1) >0}\end{array}} \right.\)

Đặt \[f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right).\]

Phương trình \[x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \,2\] và\[x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.\]

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng \[f\left( x \right) >0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,2} \right) \cup \left( {1; + \,\infty } \right).\]

Kết hợp với điều kiện \[x \ne 2,\]  ta được\[ \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \,2} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \,\infty } \right).\]Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là −3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 3.

Vậy tích cần tính là (−3).3=−9.

Đáp án cần chọn là: A

Đặt \[f\left( x \right) = 2x\left( {4 - x} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right).\]

Phương trình \[2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,\,4 - x = 0 \Leftrightarrow x = 4;\,\,\]

Và\[3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3;3 + x = 0 \Leftrightarrow x = - 3\]

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có

\[f(x) >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x >4}\\{0 < x < 3}\\{x < - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 3) \cup (0;3) \cup (4; + \infty ).\]

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng.

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện:\[x\left( {x + 2} \right) \ge 0\]

Đặt \[f\left( x \right) = x\left( {x + 2} \right).\]Phương trình x = 0 và \[x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \,2.\]

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng \[f(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x \le - 2}\end{array}} \right.\]

- Nếu\[f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\] thì bất phương trình trở thành \[0 \ge 0\] (đúng).

- Nếu \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x >0}\\{x < - 2}\end{array}} \right.\) ta được \[x \ge 1\]

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { - 2} \right\} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1; + \infty } \right)\]Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là x = −2.

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Bất phương trình tương đương với

\[\frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} < - \frac{{4x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} < 0.\]

Đặt \[f\left( x \right) = \frac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\]

Ta có \[3x + 22 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{{22}}{3};\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3}\\{x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3}\end{array}} \right.\]

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng\[f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{{22}}{3}} \right) \cup \left( { - \,3;3} \right).\]

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2.

Đáp án cần chọn là: A

Bất phương trình

\[|5x - 4| \ge 6 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 4 \ge 6}\\{5x - 4 \le - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x \ge 10}\\{5x \le - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{x \le - \frac{2}{5}}\end{array}} \right.\]

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( { - \,\infty ; - \frac{2}{5}} \right] \cup \left[ {2; + \,\infty } \right).\]

Mà\[S = \left( { - \,\infty ;a} \right] \cup \left[ {b; + \,\infty } \right)\]  nên\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{5}}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy \[P = 5a + b = 5.\left( { - \frac{2}{5}} \right) + 2 = 0\]Đáp án cần chọn là: C

TH1. Với \[2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2},\]khi đó\[\left| {2x + 1} \right| < 3x \Leftrightarrow 2x + 1 < 3x \Leftrightarrow x >1.\]</>

Kết hợp với điều kiện \[x \ge - \frac{1}{2}\]suy ra \[{S_1} = \left( {1; + \,\infty } \right).\]

TH2. Với\[2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2},\]khi đó\[\left| {2x + 1} \right| < 3x \Leftrightarrow - \,2x - 1 < 3x \Leftrightarrow x >- \frac{1}{5}.\]</>

Kết hợp với điều kiện \[x < - \frac{1}{2}\]suy ra \[{S_2} = \emptyset .\]

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \[S = {S_1} \cup {S_2} = \left( {1; + \,\infty } \right).\]

Mà \[x \in \left[ { - 2017;2017} \right]\]nên\[x \in \left( {1;2017} \right]\]hay\[x \in \left\{ {2;3;...;2017} \right\}\]

Vậy có 2016 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Xét bất phương trình \[\left| {x + 2} \right| + \left| { - \,2x + 1} \right| \le x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\]

Bảng xét dấu

TH1. Với x < −2, khi đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow \left( { - \,x - 2} \right) + \left( { - \,2x + 1} \right) \le x + 1\]

\[ \Leftrightarrow - \,2 \le 4x \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}.\]

Kết hợp với điều kiện x<−2, ta được tập nghiệm \[{S_1} = \emptyset .\]

TH2. Với \[ - \,2 \le x < \frac{1}{2},\]khi đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow x + 2 - 2x + 1 \le x + 1\]

\[ \Leftrightarrow 2x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 1.\]

Kết hợp với điều kiện \[ - \,2 \le x < \frac{1}{2},\]ta được tập nghiệm\[{S_2} = \emptyset .\]

TH3. Với \[x \ge \frac{1}{2},\]khi đó\[\left( * \right) \Leftrightarrow x + 2 - \left( { - 2x + 1} \right) \le x + 1 \Leftrightarrow 2x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0.\]

Kết hợp với điều kiện \[x \ge \frac{1}{2},\]ta được tập nghiệm\[{S_3} = \emptyset .\]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \emptyset .\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số nguyên lớn nhất bạn An có thể chọn là \[x\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\]

Theo bài ra ta có \[2\left( {4x - 30} \right) - 10\] là số có 2 chữ số.

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 \le 2(4x - 30) - 10 \le 99}\\{ - 99 \le 2(4x - 30) - 10 \le - 10}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{20 \le 2(4x - 30) \le 109}\\{ - 89 \le 2(4x - 30) \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 \le 4x - 30 \le \frac{{109}}{2}}\\{ - \frac{{89}}{2} \le 4x - 30 \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{40 \le 4x \le \frac{{169}}{2}}\\{ - \frac{{29}}{2} \le 4x \le 30}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 \le x \le \frac{{169}}{8}}\\{ - \frac{{29}}{8} \le x \le \frac{{30}}{4}}\end{array}} \right.\)

Vì \[x \in \mathbb{Z}\] và x là số lớn nhất nên x=21.

Vậy số lớn nhất An có thể chọn có hàng đơn vị bằng 1.

Đáp án cần chọn là: C