Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2023 - 2024 Sở GD&ĐT Hà Nội có đáp án
7 câu hỏi
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).
3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(A.B = 4\).
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau.)
Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy là \(30{\rm{cm}}\) và chiều cao là \(120{\rm{cm}}\). Tính thể tích của khối gỗ đó (lấy \(\pi \approx 3,14)\).
Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x - 3}} - 3y = 1}\\{\frac{3}{{x - 3}} + 2y = 8}\end{array}} \right.\).
2) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m\).
a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\).
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến tại điểm \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(S\). Gọi \(I\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(BC\).
1) Chứng minh tứ giác \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến các đường thẳng \(SO\) và \(SC\). Chứng minh \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).
3) Vẽ đường cao \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BE\). Đường thẳng \(QD\) cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\) và đường thẳng \(CK\) song song với đường thẳng \(SO\).
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh
\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).
